Určité integrály a substituce

Při počítání určitého integrálu můžeme použít substituci. V tu chvíli se můžeme dostat do problému, protože měníme integrovanou funkci, ale meze máme stále pro funkci proměnnou x. V tomto videu si ukážeme dva způsoby výpočtu.

$\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} cotg^3 (x)\: dx =\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{cos^3(x)}{sin^3(x)}\: dx =\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{(1-sin^2(x))\cdot cos(x)}{sin^3(x)}\: dx$

Dočasná ignorace mezí

Jednoduchým způsobem jak tento problém obejít je použít substituci a vypočítat integrál jako by byl neurčitý. Přičemž tedy na čas ignorujeme, že integrál nějaké meze měl. Poté výslednou funkci vrátíme zpět do původní proměnné x a v tu chvíli tomuto vrátíme i původní meze. Pak jen stačí dosadit horní mez a odečíst spodní mez. $t=sin(x) \rightarrow dt=cos(x)dx\rightarrow dx=\frac{dt}{cos(x)}$ $\int \frac{(1-t^2)\cdot cos(x)}{t^3} \cdot \frac{dt}{cos(x)}=\int \frac{1}{t^3}-\frac{1}{t}\: dt=-\frac{1}{2t^2}-ln|t|$

$\rightarrow [-\frac{1}{2sin(x)^2}-ln|sin(x)|]_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}=[-\frac{1}{2sin({\frac{\pi }{2}})^2}-ln|sin({\frac{\pi }{2}})|-(-\frac{1}{2sin({\frac{\pi }{4}})^2}-ln|sin({\frac{\pi }{4}})|)]=\frac{1}{2}+ln\frac{\sqrt{2}}{2}$

Přepočet mezí

Sofistikovanější přístup zahrnuje použití substituce a přepočítání mezí do nové proměnné. Tento přepočet je snadný. Máme rovnici substituce, která nám svazuje původní proměnnou x a novou proměnnou t. Dosadíme tedy hodnotu meze do této rovnice a vyjádříme tuto mez jako proměnnou t.

Integrál tedy celou dobu počítáme jako určitý s mezemi proměnné t a substituci již nevracíme. Číselný výsledek, který nám vyjde je shodný jako při počítání předešlou metodou.

$t=sin(x) \rightarrow dt=cos(x)dx\rightarrow dx=\frac{dt}{cos(x)}$

$x=\frac{\pi }{2}\rightarrow t=sin(\frac{\pi }{2})\rightarrow t=1$ $x=\frac{\pi }{4}\rightarrow t=sin(\frac{\pi }{4})\rightarrow t=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2} \frac{(1-sin^2(x))\cdot cos(x)}{sin^3(x)} dx=\int_\frac{\sqrt{2}}{2}^1 \frac{(1-t^2)\cdot cos(x)}{t^3}\cdot \frac{dt}{cos(x)}$