Určité integrály a výpočet plochy pod křivkou

Co je to určitý integrál?

Určitý integrál je základním pojmem v oblasti matematické analýzy, který nám umožňuje vyčíslit velikost plochy pod křivkou mezi dvěma body na ose x. Jeho výpočet se opírá o Riemannův integrál, který je založen na rozkladu plochy na nekonečně tenké obdélníčky o šířce dx.

Představme si, že máme funkci f(x), kterou chceme integrovat na intervalu od a do b. Pro aproximaci plochy pod křivkou rozdělíme tento interval na nekonečně tenké obdélníčky o tloušce dx a výšce, která odpovídá funkční hodnotě v daném bodě. Plocha takového obdléníčku je dána součinem funkční hodnoty a tloušťky dx. Teoreticky bychom velikost plochy pod křivkou dostali tak, že sečteme plochy těchto obdélníčků v mezích od a do b, pokud by se tloušťka dx limitně blížila nule. Prakticky tuto operaci ale vykonává určitý integrál za nás. Tento proces je znám také jako Riemannův integrál.

Výpočet určitého integrálu (Newton-Leibnizova formule)

Samotný výpočet určitého integrálu se provádí pomocí Newton-Leibnizovy formule. Ta určí hodnotu určitého integrálu tak, že dosadí horní mez do primitivní funkce a od tohoto dosazení odečte dosazení spodní meze do primitivní funkce.

Pro zápis určitého integrálu je dobré vědět, že spodní mez se píše pod znak integrálu a horní mez nad znak integrálu. Obecně platí, že pokud prohodíme meze, tak výsledná hodnota integrálu změní znaménko.

Vlastnosti určitého integrálu

Důležitou vlastností určitého integrálu je, že plocha nad osou x má kladnou hodnotu, zatímco plocha pod osou x má záporné znaménko. To je způsobeno orientací plochy a volbou znaménka v definici integrálu.

Další zajímavou vlastností je, že můžeme integrační meze rozdělit na více částí a hodnotu integrálu získat jako součet dvou (nebo více) integrálů. To nám umožňuje flexibilněji pracovat s integračními úlohami a rozdělit je na jednodušší části.

Podmínky existence určitého integrálu

Je třeba zdůraznit, že určitý integrál je definovaný pouze pro funkce, které jsou integrovatelné na daném intervalu. Existují určité podmínky, jako je spojitost funkce nebo omezenost na intervalu, které zajišťují existenci určitého integrálu. Graficky to znamená, že je zajištěna konečná velikost plochy pod křivkou.

Určitý integrál je důležitým nástrojem pro výpočet ploch, délek křivek, objemů a mnoha dalších kvantitativních charakteristik. Je klíčovým prvkem matematické analýzy a nachází uplatnění ve fyzice, ekonomii, statistice a dalších oborech.