Hyperbola v analytické geometrii

Hyperbola je kuželosečka, která vznikla jako průnik kuželové plochy a roviny, která má protíná oba kužely, ze kterých se kuželová plocha skládá.

Definice hyperboly

Hypebolu můžeme definovat jako množinu bodů, která má od dvou fixních bodů (ohnisek) stálou absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností. Hyperbola se skládá ze dvou větví, každá v sobě uzavírá jedno ohnisko a tyto větve jsou symetrické podle středu S [m;n].

Vzdálenost středu a ohniska označujeme jako excentricitu, vzdálenost středu a vrcholu jako hlavní poloosu. Vedlejší poloosa se na rozdíl od elipsy neprojevuje jako žádná vzdálenost (nejsou zde vedlejší vrcholy).

Vrcholová rovnice hyperboly 

Vrcholová rovnice hyperboly může mít dvě základní podoby a ty se liší v tom, který člen má u sebe záporné a který kladné znaménko.

Tento tvar popisuje hyperbolu, která má ohniska i hlavní vrcholy na ose, která je rovnoběžná s osou y.

Pokud znaménka přehodíme (minus je u členu s y) tak má hyperbola vrcholy i ohniska na ose rovnoběžnou s osou x.

Vztah excentricity, hlavní a vedlejší poloosy

Na rozdíl od elipsy má u hyperboly z této trojice vždy největší délku excentricita. Ve videu si na příkladu asymptot ukážeme, že platí tento vztah kde a,b jsou délky hlavní a vedlejší poloosy a e  je excentricita. 

Rovnice asymptot

Hyperbola jako jediná z kuželoseček má asymptoty, tedy přímky, již se graf nikdy nedotkne. Tím pádem určuje tvar hyperboly. Ať už je zapsána libovolnou z výše zmíněných dvou forem, tak rovnice asymptot jsou