S rostoucím počtem rovnic v soustavě je používání středoškolské vyjadřovací nebo sčítací metody více a více komplikované. Proto se zavádí řešení soustav rovnic pomocí matic. V tomto videu se naučíme řešit tyto soustavy pomocí Gaussovy eliminační metody na soustavě tří rovnic o třech neznámých.

Gaussova eliminační metoda

Tato metoda je schopná řešit soustavu pouze lineárních rovnic. Základ je přepsat soustavu do maticového tvaru pomocí koeficientů před neznámými. Čísla na pravých stranách rovnic přepíšeme za svislou čáru tímto způsobem

Soustava 3 lineárních rovnic o 3 neznámých

Převod soustavy rovnic do maticového tvaru

Pro tento přepis potřebujeme seřadit stejné neznámé pod sebe. Nyní každý sloupec reprezentuje neznámou x, y, z. Poté se potřebujeme dostat ke schodovitému tvaru tak, že k poslednímu řádku přičteme k prvnímu a ke druhému řádku přičteme druhý řádek vynásobený minus dvěma. 

 

Nuly v prvním sloupci už máme tam, kde jsme potřebovali. Nyní potřebujeme dostat nulu ve třetím řádku a druhém sloupci. V této situaci už nesmím přičítat první řádek, protože bych ztratil nuly v prvním sloupci. Jediná varianta je tedy spolu sčítat násobky druhého a třetího řádku a nuly v prvním sloupci zůstanou. Pro tuto úpravu vynásobíme druhý řádek třemi a třetí řádek pěti.

Úpravy řádků při řešení Gaussovou eliminační metodou

Když víme, že každý sloupec reprezentuje konkrétní neznámou, můžeme z maticového tvaru převést zpět na rovnicový a říci, že -4z=-4, tedy že z=1. V rovnicích pak můžeme pokračovat dále a zjistit, že y=2 a x=3.