U křivkových integrálů druhého druhu se poprvé setkáváme s termínem vektorová funkce (někdy také vektorové pole). O co jde?

Vektorová funkce

Jde o funkci, která danému bodu v rovině nebo prostoru přiřazuje vektor. Pro jednoduchost zůstaňme v rovině. Taková funkce by obecně, popř. konkrétně mohla vypadat takto:

Příklad zápisu vektorové funkce

Ze zkušenosti vím, že největší potíže dělá lidem to, že v x-ové i y-ové složce vektoru F je x i y. Berme to tak, že x-ová souřadnice závisí na poloze bodu podle vztahu x×y a y-ová podle 3x-2y.  V bodě [1;4] bychom tak dostali vektor (4;-5)

Křivkový integrál z vektorové funkce

Co takový integrál počítá? Vezme z křivky k nekonečně malý úsek (skoro bod), podívá se na něj jako na vektor a pak tento vektor skalárně pronásobí s vektorem, který funkce F přiřadila našemu úseku-téměř bodu. Tuto operaci udělá pro všechny body na křivce od bodu A do bodu B a čísla, která mu vyjdou, posčítá.

Definice křivkového integrálu druhého druhu

WTF? Lépe to půjde pochopit na příkladu síly a práce. Práce se vypočítá jako skalární součin vektoru dráhy a vektoru síly. Těžko to ale spočítáme, pokud vektor síly neustále směr. S tímto integrálem to ale dokážeme. Vezmeme krátký úsek dráhy, kde jsme schopni určit její směr, vynásobíme skalárně vektorem síly v daném bodě a máme malou hodnotu vykonané práce. Křivkový integrál pak posčítá takové malé práce po celé dráze a zjistíme celkovou práci.

Derivace vyjádření křivky

Pokud chceme integrovat, potřebujeme mít v integrálu jen jednu proměnnou. Pokud máme explicitní zadání křivky tak chceme mít v jen dx, ne dy. Náhrada dy probíhá tak, že za něj dosadím derivaci křivky k. Konec konců, dy to přímo říká: "Zderivuj ypsilon".

Pokud máme parametrické zadání, tak jsou souřadnice bodů křivky určeny parametrem. Např. takto:

Parametrické vyjádření křivky

S křivkovým integrálem pak musíme udělat dvě věci:

  • Za každé x a y, které je v integrované funkci F dosadit x a y, které máme ve vyjádření křivky k 
  • Určit dx a dy tak, že zderivujeme vyjádření x-ové a y-ové souřadnice křivky k.

V našem případě křivky k bychom dostali 

Derivace elementu parametricky vyjádřené křivky

Pak už budeme mít celý integrál proměnný jen podle t. V těchto dvou videích si spočítáme na explicitní i parametrické vyjádření několik příkladů s křivkami jako např. úsečky, hyperboly nebo kružnice.