Válcové souřadnice

Trojný integrál ve válcových souřadnicích (resp. cylindrických souřadnicích) je matematický nástroj, který nám umožňuje integrovat funkce ve třech rozměrech v rámci válcově symetrického prostoru. Používá se k výpočtu objemů, ploch, hmotností a dalších vlastností třírozměrných objektů s válcovou symetrií.

Souřadnice ve válcových souřadnicích

Na rozdíl od kartézského souřadnicového systému se v válcových souřadnicích pracuje se souřadnicemi r, θ (theta) a z. Souřadnice r (často označována jen jako poloměr) udává vzdálenost bodu od osy válcového systému, úhel θ určuje polohu bodu na rovině kolmé na osu z (úhel mezi kladným směrem osy x a spojice osa z – bod) a z udává výšku bodu vzhledem k počátku souřadnicového systému. Souřadnice z se tedy při transformaci z kartézského do válcového souřadnicového systému nemění.

Transformace do válcových souřadnic - jakobián

V trojném integrálu ve válcových souřadnicích je důležité zmínit, že při přechodu mezi souřadnicovými systémy musíme zahrnout jakobián, což je determinant Jacobiho matice. V případě válcových souřadnic je jakobián roven poloměru r. Toto zahrnutí jakobiánu v transformačním vzorci dxdydz=r*drdθdz zajišťuje správný převod diferenciálů mezi souřadnicovými systémy.

Kdy válcové souřadnice použít

Trojný integrál ve válcových souřadnicích umožňuje výpočet integrace přes objemové prvky v prostoru, který má má osově symetrickou povahu (často jde o válce, paraboloidy a kužely).