Aplikace trojných integrálů

Aplikace trojných integrálů stojí na stejném principu je aplikace jiných integrálů. Specifické funkce v integrálu dávají integrálu prakticky využitelný fyzikální význam. Pojďme se tedy povívat na jednotlivé aplikace a funkce, které je popisují.

Velikost objemu oblasti

Tak jako u předešlých integrálů dostaneme integrací jedničky velikost dané oblasti. Protože jsme ve 3D, velikost oblasti M je objem

$V=\iiint_{M}^{}1\: dxdydz$

Hmotnost oblasti

Pokud elementární objem dxdydz (lze také zapsat obecně jako dV) vynásobíme hustotou, obdržíme elementární hmotnost dm. Tato hustota je funkce, která obecně může být proměnná všech souřadnic. Proto ji značíme jako ρ_x,y,z. Celkovou hmotnost m obdržíme součtem, integrací, těchto elementárních hmotností.

$m=\iiint_{M}^{}\rho_{x,y,z} \: dxdydz$

Statické momenty k rovinám

Tyto momenty mají praktické využití při výpočtu těžiště. Popisují rozložení hmoty objlasti vůči ose souřadnicového systému. Vzorce pro tyto momenty vidíme zde

$S_{xy}=\iiint_{M}^{}z\cdot \rho_{x,y,z} \: dxdydz$

$S_{yz}=\iiint_{M}^{}x\cdot \rho_{x,y,z} \: dxdydz$

$S_{xz}=\iiint_{M}^{}y\cdot \rho_{x,y,z} \: dxdydz$

Souřadnice těžiště

Ze znalosti hmotnosti a statických momentů k jednotlivým rovinám můžeme určit polohu hmotného středu - těžiště. Jedná se o bod v prostoru, potřebujeme tedy určit tři souřadnice.

$T[T_x,T_y,T_z]\rightarrow T[\frac{S_{yz}}{m},\frac{S_{xz}}{m},\frac{S_{xy}}{m}]$