Mnohočleny (polynomy)

Co je to polynom (mnohočlen)?

Polynom je matematický výraz složený z proměnné, konstant a operací sčítání, odčítání a násobení. Má obecný tvar.

 kde (a_n, a_{n-1}, .. a_1, a_0) jsou koeficienty, x je proměnná a n je celé číslo vyjadřující stupeň polynomu.

Stupeň polynomu je nejvyšší mocnina proměnné v polynomu. Udává, jak moc je polynom "roztažen" ve směru proměnné. Například polynom (4x^3 + 2x^2 - x + 1)

je polynom třetího stupně.

Polynom se skládá z různých druhů členů, z nichž některé mají své označení:

- Absolutní člen je člen bez proměnné, například 5 nebo 2. Představuje konstantní hodnotu polynomu.

- Lineární člen obsahuje proměnnou s exponentem 1, například 4x nebo -3x. Představuje přímku v grafu polynomu.

- Kvadratický člen obsahuje proměnnou s exponentem 2, například 4x^2 nebo -x^2. Představuje parabolu v grafu polynomu. Existují i vyšší členy polynomů, pro ty se ale zřídka používají nějaká speciální pojmenování.

Do polynomu lze dosazovat do proměnné konkrétní hodnotu. Například dosazením x = 2 do polynomu 3x^2 - 2x + 1 získáme hodnotu polynomu (3*2^2 - 2*2 + 1 = 9).

Kořen polynomu

Kořenem polynomu je hodnota proměnné, pro kterou je hodnota polynomu rovna nule. Hledání kořenů polynomů je důležitou součástí jejich analýzy a řešení – pomocí nich je můžeme rozkládat do součinu a řešit některé typy rovnic.

Polynomy mohou být vyhodnocovány a jejich hodnoty určovány pro různé hodnoty proměnných. To umožňuje například studium průběhu polynomu, vytváření grafů a provádění výpočtů v závislosti na proměnných.

Polynomy mají v matematice a aplikacích široké využití. Slouží k popisu a modelování jevů v různých oblastech. Pomocí polynomů lze například studovat fyzikální pohyby, analýzu dat, výpočty v ekonomii a mnoho dalších matematických a reálných problémů.

Sčítání a odčítání polynomů

Pravidla pro sčítání a odčítání polynomů jsou založena na sčítání a odčítání odpovídajících členů. Sčítají se nebo odčítají členy se stejnými mocninami proměnné. Například sčítání dvou polynomů může probíhat podle následujícího scénáře 

Vidíme zde, že při sčítání mnohočlenů může pořadí sčítanců libovolně zaměňovat, pokud budeme u jednotlivých členů zachovávat jejich znaménko.