Nekonečné řady a geometrická řada
Nekonečná řada představuje součet všech členů nekonečné posloupnosti. I přes to, že těchto členů je nekonečně mnoho, za určitých okolností může mít konečný součet. Nekonečné řady se značí velkým písmenem sigma a za ním je uveden předpis posloupnosti, jejíž členy sčítá. Pod znakem sigma (také označován jako znak sumace) je označení prvního člene posloupnosti a nad ním poslední člen posloupnosti.
Bavíme-li se o nekonečných řadách, je poslední člen označen znakem ∞. Řada však může být složena z konečného počtu členů a pak je nad znakem sumace pořadí posledního člene. Nekonečná řada, která sčítá členy posloupnosti 1/2n vypadá takto
Nutná podmínka konvergence
Nutná, nikoliv dostačující, je podmínka konvergence. Ta nám říká, že řada s konvergujícím součtem musí splňovat to kritérium, že hodnota členů posloupnosti, které řada sčítá, klesá limitně k nule.
Splnění této podmínky však nutně nezaručuje, že daná řada bude mít konečný součet. Dobře nám ale ilustruje, že součet nekonečně mnoha členů může být konečný díky tomu, že sčítáme další a další členy, které jsou téměř nulové.
Limita částečných součtů
Základní, i když ne vždy všeřešící přístup ke zjištění součtu členů nekonečné posloupnosti je použití limity částečných součtů. V základě se jedná o určení součtu prnvího, prvního a druhého, prvního druhého a třetího atd. Pokud mezi nimi najdeme logických vztah, můžeme napsat vztah, který nám určí hodnotu součtu členů posloupnosti podle počtu členů. Podobné vztahy pro součty posloupností jsme užívali u aritmetických a posloupností.
Pokud chceme určit součet nekonečného množství členů posloupnosti, stačí tento vztah dosadit do limity následujícím způsobem
Nekonečná geometrická řada
U součtu nekonečna členů geometrické posloupnosti je situace jednodušší, protože zde nemusíme řešit částečné součty. Vzorec na součet n členů geometrické posloupnosti totiž už známe.
Při splnění důležité podmínky, že se kvocient q nachází v intervalu (-1;1) (absolutní hodnota členů posloupnosti se postupně zmenšuje), tak se součet nekonečné geometrické posloupnosti, resp. nekonečné geometrické řady vypočítá skrze limitu následovně
Potřebuješ si spočítat více příkladů na posloupnosti?
