Monotónnost a extrémy

V tomto videu se podíváme na to, jak zjistit, kdy funkce roste, kdy klesá a kdy na ni nastává lokální extrém.

Monotónnost a derivace

V úvodním videu o derivacích jsme se dozvěděli, že derivace má souvislost s trendem funkce a že její číselná hodnota odpovídá tangensu úhlu, který svírá tečna spuštěná z grafu a kladný směr osy x. Když se podíváme blíže na hodnoty funkce tangens, tak pokud je úhel mezi 0 a 90 stupni, je tangens kladný a pokud mezi 0 a -90 stupni, tak je záporný.

Z toho jasně plyne, že pokud je derivace kladná, funkce roste a pokud je záporná, tak funkce klesá. Tím pádem se hledání intervalů monotónnosti (kdy klesá, kdy roste) redukuje na hledání intervalů, kdy je derivace kladná nebo záporná.

Stacionární body a lokální extrémy

Lokální extrém znamená je bod na funkci, ze kterého když se podíváme nalevo nebo napravo, tak má z určité oblasti největší nebo nejmenší funkční hodnotu. Jak takový bod najít?

Derivace nám může pomoci v tom, že v takovém bodě funkce určitě ani neroste, ani neklesá. Tzn. derivace v něm je nulová. Bodům s nulovou hodnotou derivace říkáme stacionární bod. Takový bod ale nutně nemusí být extrém (viz rozdíl mezi body [0;0] u funkcí x² a  x³).

Lokální extrémy tedy hledáme tak, že prvně najdeme body s nulovou derivací. Poté potřebujeme zjistit intervaly monotónnosti, tedy kdy funkce roste a kdy klesá.

Pokud před stacionárním bodem funkce rostla a po něm začala klesat, tak se jedná o lokální maximum. Pokud před stacionárním bodem funkce klesala a po něm začala růst, tak se jedná o lokální minimum. V případě, že se u stacionárního bodu trend funkce nemění, o extrém se nejedná.