Základy derivací

U funkcí nás často zajímá jejich trend. Kdy klesají, kdy rostou a jak prudce. S tím nám hodně pomůže derivace funkce.

Mějme bod a druhý bod na ose x zvětšený o hodnotu h. Pokud se bavím o růstu nebo klesání funkce mezi body x a x+h, tak tím myslím změnu funkční hodnoty Δy, která mezi těmito body nastane. Tato změna o funkci vypovídá tím méně, čím je h větší, protože se mezi body x a x+h může s funkcí stát ledacos. 

Pro zjištění informace o tom, jak funkce roste nebo klesá v daném bodě, se budeme h snažit snížit na co nejmenší hodnotu.

Definice derivace pomocí limity

Derivaci v bodě x (f′_x) definujeme pomocí limity jako podíl změny funkční hodnoty při změně x limitně se blížící nule, resp. číslo h je téměř nulové

Tuto definici však při samotném počítání příliš nepoužíváme. Derivaci, podle toho jestli značíme funkci, můžeme značit následujícími způsoby zápisu.

Grafický význam derivace

Hodnota derivace funkce v daném bodě mi dává informaci o prudkosti růstu nebo klesání funkce v tomto bodě. Pokud bych v tomto bodě spustil tečnu, tak hodnota derivace se rovná tangensu úhlu, které svírá tečna s kladným směrem osy x.

Derivační vzorce

Hledat derivace funkce podle limit byla byla opravdu otrava, proto se odvodily vzorce, podle kterých můžeme derivovat různé typy funkcí. Všechny jsou uvedeny v PDF pod videem, ale namátkou přikládám některé z nich

Derivace součtu a rozdílu funkcí, derivace součinu konstanty a funkce

Pokud je funkce složená ze součtu nebo rozdílu funkcí, derivujeme tak, že derivujeme každou funkci zvlášť

Pokud derivujeme součin konstanty (čísla) a funkce, tak výsledná derivace se rovná součinu konstanty a derivované funkce