derivace

U funkcí nás často zajímá jejich trend. Kdy klesají, kdy rostou a jak prudce. S tím nám hodně pomůže derivace funkce.

Mějme bod a druhý bod na ose x zvětšený o hodnotu h. Pokud se bavím o růstu nebo klesání funkce mezi body x+h, tak tím myslím změnu funkční hodnoty Δy, která mezi těmito body nastane. Tato změna o funkci vypovídá tím méně, čím je větší, protože se mezi body x+h může s funkcí stát ledacos. 

Pro zjištění informace o tom, jak funkce roste nebo klesá v daném bodě, se budeme snažit snížit na co nejmenší hodnotu.

Definice derivace pomocí limity

Derivaci v bodě x (f′x) definujeme pomocí limity jako podíl změny funkční hodnoty při změně x limitně se blížící nule, resp. číslo je téměř nulové

Tuto definici však při samotném počítání příliš nepoužíváme. Derivaci, podle toho jestli značíme funkci, můžeme značit následujícími způsoby zápisu.

Grafický význam derivace

Hodnota derivace funkce v daném bodě mi dává informaci o prudkosti růstu nebo klesání funkce v tomto bodě. Pokud bych v tomto bodě spustil tečnu, tak hodnota derivace se rovná tangensu úhlu, které svírá tečna s kladným směrem osy x.

Derivační vzorce

Hledat derivace funkce podle limit byla byla krajní otrava, proto se odvodily vzorce, podle kterých můžeme derivovat různé typy funkcí. Všechny jsou uvedeny v PDF pod videem, ale namátkou přikládám některé z nich

Derivace součtu a rozdílu funkcí, derivace součinu konstanty a funkce

Pokud je funkce složená ze součtu nebo rozdílu funkcí, derivujeme tak, že derivujeme každou funkci zvlášť

Pokud derivujeme součin konstanty (čísla) a funkce, tak výsledná derivace se rovná součinu konstanty a derivované funkce