Greenova věta

Vstupujeme do integrálního lahůdkářství. Nastal čas vychutnat si Greenovu větu.

Princip Greenovy věty

Jednoduše řečeno, Greenova věta je předpis, který převádí křivkový integrál druhého druhu po uzavřené křivce na dvojný integrál. K čemu to vůbec je? Často nám zjednoduší práci. Např. takový obdélník je složen ze čtyř stran (křivek), tedy čtyři křivkové integrály. Při převodu na dvojný integrál ale integrujeme jen dvakrát.

Jak Greenova věta vypadá?

V zadání máme rovnici křivky k a vektorové pole F. Označme si jehoí x-ovou složku P a y-ovou složku Q. Když je M oblast uzavřená křivkou M, tak Greenova věta funguje následovně:

Slovně řečeno, křivkový integrál druhého druhu z uzavřené křivky na dvojný integrál převedeme tak, že dvojný integrál bude mít meze podle oblasti, kterou křivka k uzavírá. Obsah integrálu je y-ová složka vektorového pole derivovaná podle x minus y-ové složka vektorového pole derivovaná podle y.

Podmínky použitelnosti Greenovy věty

Když to zkrátím, tak Greenovu větu můžu použít, když

• Integruji vektorovou funkci (ne skalární, takže nelze použít u integrálů prvního druhu), která je na celé oblasti definovaná a má zde spojité první derivace
• Křivka, přes kterou integrujeme je uzavřená a po částech hladká.