Křivkový integrál prvního druhu

Už jsme integrovali v jednom, dvou u třech rozměrech a dnes se podíváme na to, jak integrovat přes křivku. 

Princip křivkového integrálu prvního druhu

Křivkový integrál prvního druhu přiřazuje každému elementu křivky číselnou hodnotu (skalár) a součin této hodnoty a délky elementu křivky. Častý problém je v tom, že máme dvě funkce, které musíme umět rozlišit.

Máme funkci k, která popisuje křivku a dále funkci F, která říká, jakou hodnotu přiřazujeme různým bodům na křivce.

Dobrým příkladem je hustota. Hustota je skalární funkce a dejme tomu, že je proměnná. Její funkce hraje roli F a křivce o rovnici k ve výsledku říká, kde je jak těžká.

Explicitní zadání křivky

V tomto případě je křivka zadána rovnicí s jasně vyjádřeným y (funkce F je proměnná pouze x). Co musíme nutně u každého integrálu udělat, je vyjádřit element křivky ds podle proměnné ve funkci F.

Na krátkém odvození rychle pochopíme, že nám pomůže Pythagorova věta. Díky ní jsme schopni vyjádřit ds pomocí derivace funkce F. Díky těmto krokům bude mít v sobě pouze proměnnou x. 

Parametrické vyjádření křivky

U parametrického vyjádření se nám výpočet drobně liší. Souřadnice křivky x y jsou vyjádřeny (nebo si křivku sami můžeme zparametrizovat) pomocí parametru t. Element ds se vyjádří opět z Pythagorovy věty, tentokrát do ní budeme dosazovat derivace vyjádření x y podle t. 

Aby měl integrál v sobě pouze proměnnou t, potřebujeme za integrovanou funkci F dosadit místo jejich x y vyjádření křivky. Parametrické křivky si ukážeme na příkladu úsečky a kružnice.