Gauss-Ostrogradského věta
Zde se budeme zabývat Gaussovým teorémem, také známým jako Gauss-Ostrogradského větou. Tento teorém spojuje integrál přes uzavřenou plochu s trojným integrálem přes divergenci vektorového pole, a to nám umožňuje snadno počítat objemové a plošné integrály v matematice a fyzice.
Nejprve si ukážeme, jak vypadá Gaussův teorém matematicky. Představme si uzavřenou plochu φ v prostoru, která má kladně orientovanou normálu (směrem ven z plochy). Potom pro jakékoli vektorové pole F, které je spojité a má spojitou derivaci v celé oblasti Ω, platí:
Ω zde značí prostorovou oblast, která je ohraničená plochou φ.
Nyní si ukážeme, co tato rovnice znamená intuitivně. Představme si, že máme vektorové pole F které udává proudění tekutiny. Pokud integrujeme tento vektorový proud přes plochu φ, získáme celkový objem tekutiny, která projde touto plochou.
Divergence vektorového pole F nám zase udává, jak moc se vektorové pole rozptyluje nebo konverguje v každém bodě. Pokud se vektorové pole konverguje v bodě, pak se objem tekutiny zmenšuje, a naopak, pokud se pole rozptyluje, objem tekutiny se zvětšuje. Součtem (integrací) divergencí v každém bodě oblasti Ω tedy zjistíme, jak velké množstí pole v této oblasti v sumě vzniklo nebo zaniklo.
Protože je plocha φ uzavřená, musejí se tok vektorového pole plochou a suma divergence pole rovnat.
Konvence normály u Gauss-Ostrogradského věty
Gauss-Ostrogradského věta ve tvaru v jaké jsme si ji uvedli platí, pokud má plocha normálu orientovanou kladně, tedy směrem ven. Pokud by byla normála orientovaná dovnitř, musíme na pravou stranu rovnice dát znaménko minus.
Chceš více příkladů z plošných integrálů ZDARMA?
