Logaritmická funkce a její posuny

Logaritmické funkce jsou funkce, které mají nezávislou proměnnou x v argumentu logaritmu. Logaritmická funkce je inverzní k funkci exponenciální a svazuje je proto symetrie podle osy 1. a 3. kvadrantu. Základní tvar vypadá

Základ logaritmu a musí být číslo z intervalu (0;1)∪(1;∞). Číslo x je z definice logaritmu vždy kladné, proto je definiční obor interval (0;∞).

Tvar grafu logaritmické funkce

Základ logaritmu rozhoduje o tvaru funkce, protože základy větší než 1 jsou funkce rostoucí, menší než 1 klesající. Díky omezení definičního oboru má graf logaritmické funkce asymptotu x=0. K této přímce se přibližuje, nikdy ji však neprotne.

Ať už má logaritmická funkce jakýkoliv základ, tak všechny tyto funkce procházejí bodem [1;0]. To je dáno tím, že každý základ (kladné číslo kromě jedničky) na nultou se rovná jedné.

Vlastnosti logaritmické funkce

Logaritmické funkce jsou prosté, neperiodické, neomezené, nejsou sudé ani liché a jejich základ rozhoduje o tom, zda je funkce klesající, či rostoucí.

Logaritmické stupnice

Jedním z častých využití logaritmů jsou logaritmické stupnice (resp. škály). Jsou to stupnice, jejichž měřítkem je logaritmus určité veličiny, ne veličina samotná. Jinými slovy hodnoty na takové škále jsou exponenty určitého základu.

To nám umožňuje popisovat veličiny s velkým rozptylem na relativně malém úseku. Pokud bychom měli stupnici o základu deset, tak hodnota 1 by znamenala 10¹, hodnota 6 by znamenala 10⁶. Na 6 dílcích stupnice jsme tedy popsali veličiny o rozpětí jeden milion.

V logaritmických stupnicích se měří např. intenzita zemětřesení (Richterova stupnice), hlasitost zvuku (decibely), kyselost nebo zásaditost roztoků (stupnice pH).

Posuny grafu logaritmické funkce

Jako příklad, na kterém si můžeme ukázat logiku posuvů logaritmické funkce vezmeme 

Číslo, které k celému logaritmu přičítáme, resp. odčítáme, (4) posouvá graf funkce ve svislém směru. Kladné hodnoty vzhůru, záporné dolů.

Číslo, které přičítáme resp. odčítáme k proměnné v argumentu logaritmu (-1) posouvá graf funkce ve vodorovném směru. Kladné hodnoty doleva, záporné doprava.

Číslo, kterým násobíme logaritmus, (5) deformuje tvar funkce a to tak, že smrskne nebo natáhne graf vůči ose x. Čím větší číslo, tím víc se graf od osy x  roztáhne. Pokud je číslo záporné, přetočí graf symetricky kolem osy x.

Číslo, které stojí u proměnné x v argumentu (3) má vliv na polohu svislé asymptoty a deformuje tvar funkce tak, že smrskne nebo natáhne graf vůči této asymptotě. Pokud je číslo záporné, přetočí graf symetricky kolem osy y.