Rotace vektorového pole

Rotace vektorového pole je matematická operace, která charakterizuje, jak se vektorové pole otáčí kolem určitého bodu.Vysvětlíme si, jak se rotace počítá pomocí determinantu, a popíšeme rozdíl mezi rotací v bodě a směrem proudění vektorového pole.

Definice a výpočet rotace

Rotace vektorového pole se učí jako vektorový součin nably a vektorového pole Rotace se obvykle značí jako "rot F" nebo v angličtině "curl F", kde "F" představuje vektorové pole.

Rotace vektorového pole se obvykle počítá pomocí determinantu. Pokud máme vektorové pole F_(x,y,z) = (P_(x,y,z), Q_(x,y,z), R_(x,y,z)), pak se rotace tohoto pole počítá následujícím způsobem:

$rot \vec{F} = \vec{\bigtriangledown } \times \vec{F} =\begin{vmatrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k} \\\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\P & Q & R \\\end{vmatrix} \newline = (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\vec{j} +(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\vec{k}$

Výsledkem je vektor, který představuje rotaci vektorového pole v daném bodě, podobně jako ve fyzice úhlová rychlost.

Rozdíl mezi rotací v bodě a směrem proudění vektorového pole

Je důležité si uvědomit, že rotace vektorového pole se nevztahuje přímo na směr proudění vektorového pole. Rotace vektorového pole je spíše charakteristikou toho, jak se pole otáčí kolem určitého bodu. Směr proudění vektorového pole se může změnit bez jakékoli rotace, což si ukážeme ve videu na příkladu cirkulujícího pole u nějž ale všechny body mají nulovou rotaci. Vektorová pole s nulovou rotací označujeme jako nevírová.

Souvislost s potenciálním vektorovým polem

Potenciální vektorové pole je takové vektorové pole, které se dá vyjádřit jako gradient skalární funkce. V případě potenciálního vektorového pole je rotace nulová v každém bodě, což nám slouží jako ověření toho, zda trojrozměrné vektorové pole je potenciální. Na druhé straně, pokud je rotace vektorového pole nenulová, pak to znamená, že vektorové pole není potenciální.

Rotace vektorového pole

Diferenciální rovnice