Diferenciál a Taylorův polynom

V tomto videu se podíváme na aproximační metody, které nám derivace dávají. Jen pro vysvětlení, aproximace znamená přibližné vyčíslení funkční hodnoty, např. v případech kdy neumíme vyčíslit přímo hodnotu funkce v daném bodě.

Diferenciál

Aproximování funkční hodnoty v bodě x diferenciálem znamená, že funkci nahradím v blízkém bodě x₀ tečnou. Je nutné funkční hodnotu v bodě x₀ znát. Funkční hodnotu v bodě x pak aproximuji pomocí přírůstku na tečně.

Hodnotu přírůstku na tečně lze vypočítat z pravoúhlého trojúhelníku, který tvoří na ose x vzdálenost x₀ a bodu x a kolmo na tuto stranu hledaný přírůstek funkční hodnoty. Víme, že tangens úhlu mezi tečnou s kladným směrem osy x odpovídá derivaci v daném bodě. Funkční hodnota v bodě x lze pak odhadnout pomocí vztahu

Taylorův polynom

Taylorův polynom je aproximační metoda, která nahradí funkci v daném bodě ne přímkou, jako to dělá diferenciál, ale polynomem. Pro obě metody platí, že jejich výhoda spočívá snadném vyčíslování pomocí základních operací, jako je sčítání a odčítání.

Mějme funkci y, bod x₀, jehož funkční hodnotu známe a bod x, ve kterém funkční hodnotu chceme odhadnout. Taylorův polynom vychází z Taylorovy řady, ale tu zatím neumíme. Proto si stačí zapamatovat mechaniku tvoření této aproximace z