LODR metoda neurčitých koeficientů

Důvodem, proč používáme metodu neurčitých koeficientů, je získání explicitního tvaru partikulárního řešení bez potřeby zdlouhavé integrace nebo řešení diferenciální rovnice postupným dosazováním funkcí. Tato metoda je zejména užitečná v případech, kdy je pravá strana rovnice, tedy nehomogenita, funkcí s jednoduchou analytickou formou, jako jsou polynomy, exponenciální funkce, trigonometrické funkce nebo jejich kombinace.

Myšlenka za metodou neurčitých koeficientů

Při použití metody neurčitých koeficientů předpokládáme dvě věci. Zaprvé, že celé řešení diferenciální rovnice je dáno součtem homogenního a partikulárního řešení. O homogenním řešení víme, že dosazením do rovnice dá nulu a ta se na pravé straně nachází (resp. můžeme ji tam dopsat, protože +0 nic na rovnici nezmění). Partikulární řešení po dosazení do rovnice dá nehomogenitu na pravé straně rovnice.

Zadruhé, partikulární řešení nehomogenní rovnice má stejný tvar jako pravá strana rovnice. Pokud pravá strana obsahuje polynom, pak partikulární řešení bude také polynom stejného stupně. Pokud pravá strana obsahuje exponenciální funkce, pak partikulární řešení bude mít stejný exponenciální tvar. 

Praktický postup při použití metody neurčitých koeficientů

Postup při použití metody neurčitých koeficientů je následující:

1. Zjistěte typ funkce na pravé straně nehomogenní rovnice. Může to být polynom, exponenciální funkce, trigonometrická funkce nebo jejich kombinace. Jiné typy se pro řešení touto metodou nehodí.

2. Předpokládejme, že partikulární řešení má stejný tvar jako pravá strana, ale s neznámými koeficienty. Tyto koeficienty označme symbolicky A, B, C apod.

3. Ověřte, zda odhad partikulárního řešení nedpovídá lambdě z řešení homogenní rovnice. To by znamenalo, že dosazením takového řešení bychom obdrželi nulu. V tu chvíli odhad partikulárního řešení vynásobte x na tolikátou, kolik shod najdete s homogenním řešením.

4. Dosazením partikulárního řešení do nehomogenní rovnice získáme rovnici pro určení hodnot neznámých koeficientů.

5. Vypočtěte derivace partikulárního řešení a dosaďte je do nehomogenní rovnice. Poté porovnejte koeficienty při stejných mocninách nezávislé proměnné a pravé straně rovnice.

6. Z rovnic pro koeficienty vyřešte neznámé koeficienty a získáte tak konkrétní tvar partikulárního řešení.

7. Pokud je pravá strana složitější nebo obsahuje sinusové a kosinusové funkce, může být nutné použít předchozí kroky ve více iteracích.

8. Výsledné řešení se rovná součtu homogenního a partikulárního řešení.

Metoda neurčitých koeficientů je velmi užitečná při řešení nehomogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, protože umožňuje nalézt partikulární řešení bez nutnosti řešit celou obecnou rovnici. Tím se usnadňuje výpočet a získáváme konkrétní výsledek pro danou nehomogenní rovnici.

Pamatujte, že metoda neurčitých koeficientů je aplikovatelná pouze na nehomogenní rovnice s konstantními koeficienty. Pro jiné typy nehomogenních rovnic existují jiné metody, jako je variace konstant.