Křivkový integrál v potenciálním poli

Pokud ti Greenova věta nepřišla dost lahůdková, tak na potenciálním poli se "opravdu" namlsáš :)

Potenciální vektorové pole

Jedná se o vektorové pole s jednou speciální vlastností. Křivkové integrály v něm nezávisejí na tvaru integrační cesty (křivky), ale jen na počátečním a koncovém bodu. Jak to jen popsat lépe...

Zkus si vzpomenout na gravitační pole a práci v něm. Pamatuješ si možná to klasické W=m×g×h. Práce závisela na svislé výšce, o kterou jsme zvedli těleso a bylo šumák, kudy jsme jej zvedali. Gravitační pole je tedy příkladem pole potenciálního pole.

Potenciál

Ok, jdeme na výpočet. Mějme zadanou potenciální vektorovou funkci F o x-ové složce M a y-ové složce L, počáteční bod integrace A a koncový bod integrace B.  Nemusíme přitom znát tvar integrační křivky. Výsledek integrace je rozdíl funkce potenciálu P v bodě B minus potenciál v bodě A.

No jo, ale co to znamená v češtině? Finta je v tom, že naše vektorová funkce je gradientem potenciálu.

Pokud tedy zderivujeme P podle x, dostaneme M a pokud zderivuji P podle y, dostanu L. A celá úloha se redukuje na nalezení rovnice potenciálu. Dál je to příliš složité na to, aby zde psal dále, mrkni se do videa na část od 7:40 :)

Jak poznat potenciální pole

Než vůbec začnu něco počítat jako potenciální pole, musím si být jist, že integruji v potenciálním poli. Kontrola spočívá v tom, že spočítáme parciální derivaci složky M podle y a to se bude rovnat parciální derivaci složky L podle x.

 

To vychází ze skutečnosti, že u druhých parciálních derivací nezávisí na pořadí v jakém derivujeme. Vždy bychom měli dostat tu samou druhou derivaci.

Křivkový integrál v 3D potenciálním poli

Myšlelka křivkových integrálů v potenciálním poli zůstává zachována i pokud má toto potenciální vektorové pole tři složky (je prostorové). Integrál mezi dvěma body je nezávislý na křivce a závisí pouze na souřadnicích koncového a počátečního bodu.

Rozdíl je ovšem v ověření potenciálnosti pole a také ve výpočtu. Vektorové pole o třech složkách je potenciální tehdy, pokud je jeho rotace nulová.

Musíme si taky uvědomit, že při hledání potenciálu přes integraci podle jedné proměnné je integrační konstanta funkcí zbylých dvou proměnných a musíme zjistit, co za funkce se v této konstantě skrývá.