Kvadratická funkce
Kvadratická funkce je charakteristická tím, že její funkční hodnoty rostou s druhou mocninou x. Dobře to je vidět např. na závislosti obsahu čtverce na jeho straně. Čtverec o straně 1 m má obsah 1 m2, o straně 2 m obsah 4 m2, o straně 3 m obsah 9 m2 atd. Vidíme, že závislost už není lineární, ale kvadratická.
Zápis kvadratické funkce
Kvadratická funkce má obecně zápis
kdy a,b,c jsou reálná čísla. Takové funkce mohou mít tvar y=x2+3x-2, y=x2 -2x-6 atd. U kvadrtických funkcí se a≠0, jinak by se jednalo o funkci lineární.
Graf kvadratické funkce
Grafem kvadratické funkce je vždy parabola. S tímto tvarem se setkáváme prvně, pro začátek se můžeme smířit s tím, že se jedná o takové "účko". Každá parabola má svůj vrchol, což je bod paraboly, kterým prochází její osa souměrnosti.
Pokud známe souřadnice vrcholu, známe tím pádem její velmi charakteristický bod a je snadné ji zakreslit. Proto se také rovnici kvadratické funkci snažíme pomocí doplňování na čtverec převést na tvar
kde xv, yv jsou jsou souřadnice vrcholu. Této rovnici také někdy říkáme vrcholový tvar.
Vlastnosti kvadratické funkce
Definičním oborem kvadratické funkce všechna reálná čísla. Obor hodnot kvadratické funkce se odvíjí od toho, jestli je parabola posunutá nebo ne, každopádně jedná se o omezenou funkci, kdy jejím maximem popř. minimem je funkční hodnota vrcholu paraboly.
Pokud leží vrchol paraboly na ose y, jedná se o funkci sudou. Část funkce je klesající, část rostoucí a proto se nejedná o funkci prostou. Funkce také není periodická.
Posuny grafu kvadratické funkce
Poprvé se setkáváve s myšlenkou, že obecná poloha paraboly v souřadnicovém systému lze rozložit na dílčí počet posuvů a deformací základního grafu y=x2. Vycházejme z vrcholového tvaru
Člen yv, tedy hodnota, kterou přičítáme popř. odčítáme od člene na druhou, posunuje graf parabol ve svislém směru. Kladné hodnoty jej posouvají nahoru, záporné dolů.
Člen xv, který je v závorce na druhou, posouvá graf ve vodorovném směru. Logika posuvů je zde opačná (díky znaménku minus). Pokud je u xv znaménko minus, graf se posouvá doprava a pokud plus, tak doleva.
Koeficient a má vliv na tvar paraboly. Čím větší hodnoty, tím je parabola užší a čím jsou hodnoty bližší 0, tím jsou větve paraboly rozevřenější a parabola širší. Pokud má koeficient a zápornou hodnotu, parabola se otáčí a její ramena pak míří dolů. Vrchol paraboly má pak charakter funkčního maxima.
Potřebuješ si spočítat více příkladů na funkce a jejich grafy?
