Integrace lomených funkcí

Jak integrovat funkci ve zlomku? V tomto videu si ukážeme několik variant, jak si s takovým integrálem poradit.

Použití základních integračních vzorců

Pokud to dané funkce umožňuje, můžeme upravit tvar funkce tak, aby byla např. integrovatelná podle vzorce, který vede na arctg x. Tyto úpravy často bývají náročné a vyžadují substituci. Proto si je vysvětlíme v dalším videu.

Vzorec s derivací

Jeden z mých oblíbených a velmi užitečných vzorců na integraci počítá s tím, že pokud je v čitateli derivace jmenovatele, tak výsledek integrace je přirozený logaritmus funkce ve jmenovateli

Často se stává, že na to, abychom tento vzorec mohli použít, musíme zlomek ekvivalentním způsobem upravit. Můžeme vynásobit čitatele i jmenovatele stejným číslem a jedno z nich vyhodit před integrál nebo zlomek roztrhnout. Např. takto

Dělení polynomu polynomem

Pokud se jedná o racionální lomenou funkci (v čitateli i jmenovateli jsou polynomy), tak za za určitých podmínek lze tyto polynomy vydělit. A to tehdy, pokud maximální mocnina v polynomu čitatele je vyšší nebo rovna maximální mocnině ve jmenovateli.

Mechanismus dělení popisuji ve videu v čase 8:00 nebo ve speciálním setu videí zdarma. Získáme tím jednodušší, z větší části polynomický tvar, který pak snadno zintegrujeme.