Integrace lomených funkcí substitucí vedoucí na arctg x

Jeden ze způsobů, jak integrovat složitější lomené funkce je převodem na integraci, která vede na arcus tangens. Při této integraci budeme muset použít substituci velmi cíleným způsobem. Podívejme se např. na tuto integraci.

$\int \frac{1}{x^2+2}\:dx$

Kdyby ve jmenovateli zlomku byla jednička místo dvojky, jednalo by se o jasnou integraci s výsledkem arctg(x).

$\int \frac{1}{x^2+1}\: dx=arctg(x)+C$

Jak tedy budeme postupovat? Jedničku si ve jmenovateli vytvoříme vytknutím jedné poloviny ze zlomku a postavíme ji před integrál. Podle pravidel vytýkání ale musíme vytýkat i ze člene x².

$\frac{1}{2}\int \frac{1}{\frac{x^2}{2}+1}\:dx$

Dobře, jednička je na svém místě, ale nyní nám v integraci brání dvojka ve zlomku jmenovatele. Proto ji vtáhneme pod mocninu a následně provodeme substituci výrazu, který je pod mocninou.

$\frac{1}{2}\int \frac{1}{\frac{x^2}{2}+1}\:dx=\frac{1}{2} \int \frac{1}{(\frac{x}{\sqrt{2}})^2+1}\:dx \rightarrow t=\frac{x}{\sqrt{2}} \rightarrow \frac{1}{2}\int \frac{1}{t^2+1} \sqrt{2}dt$

Poslední tvar integrálu je již přímo integrovatelný. Nezapomeňme také na dosazení původní proměnné x za t.

$\frac{1}{2}\int \frac{1}{t^2+1} \sqrt{2}dt=\frac{\sqrt{2}}{2}acr tg(t)+C\rightarrow t=\frac{x}{\sqrt{2}} \rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}acr tg(\frac{x}{\sqrt{2}})+C$

Potřebuješ si spočítat více příkladů na integrály?

Klikni zde pro sbírku příkladů