Druhá derivace

Druhá derivace nám pomáhá zjistit tvar grafu funkce, jestli je konvexní nebo konkávní.

Konvexní a konkávní funkce

„Do konkávy kávu nenaleješ”. Ultimátní matematické pořekadlo, které nám hodně pomůže. Pokud je křivka prohnuta „dnem vzhůru” tak o funkci říkáme, že je konkávní. Tečna ke grafu funkce je nad funkcí. Souvislost s kávou je zde ta, že do vypouklé nádoby nic nenalejeme. Funkce je konkávní tehdy, když je druhá derivace záporná.

Opačný případ nastává, pokud je funkce prohnutá „dnem dolů”. Funkci nazýváme konvexní a druhá derivace je zde kladná. Tečna k této funkci je vždy pod grafem. 

Pokud máme problém si zapamatovat souvislost mezi znaménkem druhé derivace a prohnutím křivky, tak nám může kladná derivace (znaménko plus) evokovat pozitivní usměvavý smajlík a máme typ prohnutí křivky zapamatovaný 🙂

Inflexní body

Body na funkci, ve kterých se mění funkce z konkávní na konvexní nebo obráceně, nazýváme inflexními body. Aby byl bod funkce inflexní, musí být splněny dvě podmínky. Hodnota derivace musí být nula a ve znaménku musí dojít ke změně. 

Celý proces určování prohnutí funkce se tedy redukuje na porovnávání druhé derivace s nulou.