Lagrangeovy multiplikátory
Lagrangeovy multiplikátory nebo též někdy Lagrangeova funkce je metoda výpočtu vázaných extrémů, která se používá obzvláště v situacích, kdy vazební podmínka nejde explicitně vyjádřit.
Použití při hledávání vázaných extrémů
Mějme funkci Fx,y a vazební podmínku g.
Vazební podmínka je kružnice a proto bychom zde těžko vyjadřovali y. Proto zde vytvoříme Lagrangeou funkci L, podle schématu
Lagrangeova funkce je tedy proměnná podle x, y, λ. Její extrémy hledáme tak, že funkci zderivujeme podle všech proměnných a tyto derivace položíme rovno nule. Dostaneme tak soustavu tří rovnic o třech neznámých, jejímž vyřešením dostaneme body podezřelé z vázaného extrému.
Ověření vázaného extrému
Body, které jsme takto získali ale ještě s jistotou nejsou vázané extrémy. Potvrzení se nám dostane až skrze Sylvestrovo kritérium, které jsme probírali ve videu o lokálních extrémech.
Prvně musíme sestavit determinant Hessiánu z druhých parciálních derivací funkce L.
Platí zde stejná pravidla, jako u Sylvestrova kritéria lokálních extrémů:
- Když je Hessián kladný a druhá derivace podle x je také kladná, tak se jedná o vázané minimum
- Když je Hessián kladný a druhá derivace podle x je záporná, tak se jedná o vázané maximum.
- Když je Hessián záporný, nejedná se o žádný extrém.
Chceš další příklady z funkcí více proměnných ZDARMA?
