Limita funkce více proměnných

Limity funkcí více proměnných fungují na podobném principu jako limity funkce jedné proměnné. Limita funkce existuje, když hodnoty libovolně malého okolí bodu spadají do ohraničeného pásu funkčních hodnot.

Matematická definice limity funkce dvou proměnných

Matematicky definovat limitu funkce dvou proměnných lze takto

kdy O_δ je kruhové okolí bodu [x₀;y₀] o poloměru δ, D_f je definiční obor funkce a ε je polovina šířky pásu funkčních hodnot, do kterého náleží funkční hodnoty bodů z okolí bodu [x₀;y₀].

Z této definice plynou dvě důležité skutečnosti. V bodě, ve kterém limitu určujeme nemusí být definována funkční hodnota, protože limita zkoumá chování bodů v okolí. To ale předpokládá druhou důležitou skutečnost a to tu, že bod nějaké okolí, ve kterém jsou body s definovanou funkční hodnotou má.

Body s takovým okolím nazýváme hromadné a v těchto bodech má smysl limitu počítat. Naopak body, které kolem sebe nemají žádný bod s definovanou funkční hodnotou nazýváme izolované a v nich nemá smysl limitu počítat.

Metody výpočtu limit

Základním způsobem výpočtu, se kterým jsme se už setkali u limit jedné proměnné je přímé dosazení. Pokud nám vychází neurčitý výraz, můžeme si ještě vypomoci úpravami typu vytýkání a krácení. Jinak je ale náš arsenál určování číselné hodnoty limity velmi omezený, např také proto, že nelze obecně použít L'hospitalovo pravidlo.

Častěji se setkáváme se situacemi, kdy dokazujeme neexistenci limit. Tyto důkazy stojí na tom, že pokud potvrdíme závislost hodnoty limity na směru, z jakého přistupujeme k bodu, tak dokážeme neexistenci limity. 

Metoda postupných limit

Tento způsob vezme limitu dvou proměnných, první do ní dosadí x-ovou hodnotu zkoumaného bodu a pak y-ovou hodnotu a vypočítá limitu. Poté udělá to samé, akorát zamění pořadí dosazování. Když se hodnoty limit liší, je dokázáno, že limita neexistuje.

Důležité: U této i dalších dvou metod (svazku přímek a svazku parabol) platí, že tyto metody jsou schopny pouze dokázat neexistenci limity. Pokud nám vyjde číselné řešení, není to důkaz, že limita má opravdu tuto hodnotu.

Metoda svazku přímek

Dalším způsobem vyvrácení existence limity je blížit se ke zkoumanému bodu po přímkách. Pokud zkoumáme bod o souřadnicích [x₀;y₀], pak množina přímek, která jím prochází má tvar 

Když toto vyjádření dosadíme do limit za y a ve vyjádření limity zůstane parametr k, tak to znamená, že hodnota limity závisí na směru, ze kterého se k bodu blížíme a proto limita neexistuje.

Metoda svazku parabol

Tento způsob je velmi podobný metodě svazku přímek a jak název napovídá, blížíme se ke zkoumanému bodu po parabolách různých tvarů. Množina parabol, které procházejí bodem [x₀;y₀] má tvar

Opět pokud je výsledná hodnota limity závislá na k, tak limita neexistuje.

Metoda polárních souřadnic

Tato metoda se liší v tom, že v určitých případech dokáže určit hodnotu limity. Její princip stojí na transformaci kartézských souřadnic po polárních pomocí vztahů

Pokud s poloměrem ρ jdeme limitně k nule, můžeme pak ze všech směrů prozkoumat blízké okolí bodu [x₀;y₀]. Když je výsledná limita závislá čistě na úhlu φ, tak limita neexistuje.

Speciální případ, kdy jsme schopni určit hodnotu limity zahrnuje limitu tvaru

Pokud limita funkce g_ρ  jde limitně k nule a funkce h_φ je ohraničená, pak má limita hodnotu L.