derivace

Vyšetřování průběhu funkce znamená umět nakreslit graf této funkce jen ze znalosti jejího předpisu. U této oblíbené zkouškové úlohy použijeme všechny znalosti, které máme z derivací. Když známe předpis funkce fx, nakreslíme její graf podle následujícího postupu.

Definiční obor a obor hodnot

Určení definičního oboru je naprosto zásadní. Říká nám, v jakých bodech je funkce vůbec definovaná a díky tomu taky víme, kterými body funkci nevést. V takových má funkce asymptotu bez směrnice.

Z mé zkušenosti obor hodnot ke stanovení průběhu funkce není třeba, protože se nám sám vyjeví pomocí zbylých kroků, které jsou ještě před námi.

Sudá nebo lichá funkce

Tyto vlastnosti nám mohou zjednodušit výpočet i přinést určitou kontrolu. Sudá funkce znamená, že graf je symetrický podle osy y, např. funkce x2. Matematicky to znamená, že i když dosadím kladné nebo záporné x, dostanu stejnou funkční hodnotu

Lichá funkce naopak znamená, že funkce je symetrická podle počátku souřadnicového systému, např. y=x. Matematicky řečeno, pokud dosadím záporné x, obdržím funkční hodnotu s opačným znaménkem, než kdybych dosadil kladné x.

Funkce však nemusí být ani sudá, ani lichá - žádná symetrie, např. y=x+1.

Průsečíky s osami

Abychom věděli, kam graf funkce zapasovat vůči souřadnicovým osám, budou se nám hodit jejich průsečíky. 

Průsečíky s osou x najdeme vyřešením rovnice fx=0. Víme totiž, že všechny průsečíky s osou  mají nulovou y-ovou souřadnici. Průsečíky s osou najdeme tak, že za do funkce dosadíme 0.

První derivace a extrémy

Podle první derivace zjistíme, na jakých intervalech funkce klesá, roste a kde má lokální extrémy. Zderivujeme tedy funkci fx a porovnáme její derivaci s nulou.

Druhá derivace, konvexnost a konkávnost, inflexní body

Pomocí druhé derivace zjistíme, jakým způsobem a na jakých intervalech je křivka prohnutá. Zderivujeme první derivaci ještě jednou a porovnáme ji s nulou. Tam, kde je druhá derivace nulová a mění se prohnutí jsou inflexní body,  které zaneseme do grafu.

Limity v nevlastních bodech a v bodech mimo definiční obor

Při kreslení grafu máme k dispozici jen určit výřez, nemůžeme kreslit na nekoneční papír. Limity v nevlastních bodech (x se blíží ±∞) nám určí, kam se zde funkce ubírá.

Limity v bodech mimo definiční obor zase potřebujeme spočítat proto, abychom věděli, k jakým funkčním hodnotám se funkce kolem těchto bodů blíží.

Asymptoty se směrnicí

Asymptoty se směrnicí jsou přímky ke kterým se funkce přibližuje v nekonečnu, ale nikdy je neprotne. Asymptoty jsou přímky, takže budeme očekávat rovnici typu 

Nás bude zajímat vyjádření koeficientů a, b. Oba vyjádříme pomocí limit. První musíme vyjádřit a, teprve pak se můžeme pustit do b.