Plošný integrál prvního druhu (ze skalární funkce)

Bojuješ s plošnými integrály? Už nemusíš. V tomto videu si vysvětlíme povahu plošných integrálů prvního druhu.

Explicitní zadání plochy

Plošné integrály přiřazují každému bodu na ploše určitou hodnotu a ty pak prosčítává přes celou oblast. Tak jako u křivkových integrálů je zde nutný určitý převod, protože umíme integrovat pouze podle proměnných x y z, a ne podle elementů plochy dS.

Základem je najít vztah mezi elementem dxdy v půdorysně a elementem plochy dS. Ten nalezneme pomocí tečné roviny a zjistíme, že je roven velikosti normálového vektoru pluchy dS. Pokud toto víme, můžeme integrovat již přes oblast v půdorysně, která je průmětem plochy S do roviny xy.

Parametrické vyjádření plochy a plošný integrál

Druhým základním postupem je plochu vyjádřit parametricky. To si ukážeme na příkladu válce. Ten ve své rovnici vůbec žádné z nemá, proto ani nemáme jinou variantu, než jej vyjádřit parametricky.

Pokud jeho parametrické vyjádření neznáme, můžeme si pomoci znalostí válcových souřadnic z trojných integrálů a pouze poloměr R nahradíme fixním číslem. Nyní je x y z vyjádřeno pomocí dvou parametrů.

Vzpomeňme si na postup u explicitních ploch. Tam jsme potřebovali promítnout do půdorysny plochu a mezích tohoto průmětu bychom integrovali. Také jsme potřebovali normálový vektor. Ten se zde počítá trochu jinak.

Parciálními derivacemi vyjádření plochy podle parametrů dostaneme dva tečné vektory. Pokud je proženeme vektorovým součinem, dostaneme souřadnice normálového vektoru. Dále už je výpočtový postup víceméně stejný jako u explicitního vyjádření, jen musíme mít na paměti, že omezení mezí musí být vyjádřené podle parametrů, ne podle x a y.