Polární souřadnice

Doteď jsme se zabývali dvojnými integrály, které body v rovině popisovaly v kartézském systému pomocí souřadnic x a y. Nyní si vysvětlíme alternativu v podobě polárních souřadnic.

Jaké jsou výhody polárních souřadnic

Polární souřadnice jsou často výhodné při řešení problémů s kruhovou symetrií nebo když se pracuje s oblastmi nebo funkcemi definovanými v polárním tvaru. Při použití polárních souřadnic je dvojný integrál vyjádřen jako integrál přes úhel (φ) a vzdálenost (R).

Jak se převádí mezi kartézskými a polárními souřadnicemi?

Definice polárních souřadnic je poměrně jednoduchá. Každý bod v rovině je popsán dvojicí čísel (R, φ), kde R je vzdálenost bodu od počátku (počátek souřadnicového systému)a φ je úhel mezi kladným směrem osy x a polohovým vektorem bodu (spojnice bodu s počátkem souřadného systému). Úhel φ má kladný směr proti směru hodinových ručiček.

Prostý dvojný integrál funkce f(x, y) nad oblastí M v kartézských souřadnicích může být vyjádřen v polárních souřadnicích jako:

kde integrace probíhá přes vhodné intervaly pro R a θ, které odpovídají oblasti M v polárních souřadnicích. J je jakobián, což je termín, který si vysvětlíme níže

Jednou z hlavních výhod polárních souřadnic v dvojných integrálech je, že kruhová symetrie je vyjádřena jednodušeji. Oblast ohraničená v polárních souřadnicích  číselnými mezemi (poloměr od 0 do 2 a úhel od 0 do π) by v kartézských souřadnicích byla ohraničena mezemi funkčními.

Toto zjednodušení je velmi užitečné při práci s problémy, které mají kruhovou symetrii (oblast je částí kruhu), například při výpočtech ploch, objemů nebo hmotností těles s kruhovou symetrií.

Použití polárních souřadnic v dvojných integrálech je tak značně výhodné při práci s problémy, které mají kruhovou symetrii nebo které lze v polárních souřadnicích vyjádřit jednodušeji. Tímto způsobem lze efektivněji řešit různé matematické úlohy a aplikovat je na praktické problémy ve fyzice, inženýrství a dalších oborech.

Jakobián 

Jakobián je matematický objekt používaný při transformaci souřadnicových systémů. Používá se k vyjádření vztahu mezi diferenciály veličin v různých souřadnicových systémech. U dvojných a poté i trojných integrálů to zkráceně řečeno bude funkce, která se přidá za obsah integrandu pokaždé, pokud bude použita transformace souřadnic.

 Jakobián je determinant matice parciálních derivací přechodu mezi těmito dvěma souřadnicovými systémy. Jeho hodnota závisí na konkrétní transformaci a je vyjádřena jako:

Jednotlivé derivace ∂x/∂R, ∂x/∂φ, ∂y/∂r a ∂y/∂φ jsou parciální derivace vztahů pro přechod mezi souřadnicemi (x, y) a (r, φ). Tyto derivace závisí na konkrétní transformaci a jsou získány derivováním příslušných vzorců pro transformaci souřadnic. Obecně platí, že každý řádek determinantu je jedna proměnná původního souřadnicového systému postupně parciálně derivovaná podle všech proměnných souřadnicového systému nového.

V případě polárního souřadnicového systému má jakobián hodnotu R, která se vypočetla takto: