Ekvivalentní úpravy rovnic a vyjádření ze vzorce

Ekvivalentní úpravy nám pomáhají měnit tvar rovnice aniž by se změnila její platnost. Jinými slovy si můžeme členy v rovnici přeházet jak potřebujeme, ale kořeny rovnice zůstanou stále stejné.

Ekvivalentní úpravy

Přičítání a odečítání výrazů

K rovnici můžeme přičítat a odečítat libovolný výraz (číslo, neznámou nebo jejich kombinaci), pokud tím nezměníme definiční obor rovnice. To si můžeme dovolit, protože pokud se levá a pravá strana rovnají, budou se rovnat dále, i když k oběma stranám přičtu nebo odečtu stejné číslo (výraz).

Násobení a dělení nenulovým výrazem

Rovnici můžeme dělit a násobit jakýmkoliv výrazem, který se nerovná nule. Nulu nemůžeme dělit prostě proto, že dělení nulou není v matematice povoleno. Násobit nulou zase nemůžeme proto, že ať už by na stranách rovnice před násobením bylo cokoliv, tak po násobení nulou by na obou stranách rovnice byly nuly a množina kořenů by se tak změnila.

Záměna stran rovnice

U této úpravy není moc co zmiňovat, pouze zde vypíchneme, že u rovnosti nezávisí na pořadí - pokud se dva výrazy sobě rovnají, tak je jedno, na které straně výrazy stojí a proto můžeme měnit strany rovnice podle potřeby.

Dílčí úpravy na stranách rovnic - sčítání, odčítání, roznásobení, vytýkání, převod na společného jmenovatele

Všechny tyto úpravy můžeme provádět, proto pouze mění podobu výrazů na jednotlivých stranách. Výrazy před a po úpravě mají stejný smysl.

Převrácení stran rovnic

Ne úplně častá, ale přesto možná úprava. Pokud není ani jedna ze stran rovnice nulová, tak můžeme z levé i pravé straně vytvořit jejich převrácené hodnoty a rovnost zůstane zachována. Pokud by nulové byly, tak by se nula převrácením dostala do jmenovatele a to nemůžeme dovolit.

Odmocnění a umocnění

Tyto úpravy jsou zrádné v tom, že ne vždy jsou ekvivalentní a ne vždy je možné je provést. Umocnění obou stran rovni často kořen přidává a odmocnění sudou odmocninou je možné udělat pouze tehdy, pokud jsou obě strany kladné. Při použití těchto úprav je vhodné použít zkoušku, která jasně prokáže skutečné kořeny rovnice.

Vyjádření neznámé ze vzorce

V matematice, fyzice, chemii a dalších vědách se setkáme se vzorci, které nám pomáhají vypočítat určité veličiny. Obsah kruhu, dráha rovnoměrně zrychleného pohybu, Pythagorova věta a mnoho dalších. Často ale vyjádřená veličina ve vzorci není ta, kterou potřebujeme a chceme vyjádřit jinou. To provedeme pomocí ekvivalentních úprav. 

Demonstraci můžeme provést na vzorci na obsah kruhu a celkové protažení nosníku (z pružnosti a pevnosti).

Při samotném vyjadřování není nutné rozumět rovnici samotné, proto si uděláme příklady vyjadřování z rovnic s naprosto obecnými členy.