Alternující řady

V tomto videu se podíváme na alternující řady a kritéria, podle který zjistíme jestli řada součet má nebo ne.

Jak se liší alternující řady od řad s kladnými členy?

Doposud všechny řady se kterými jsme se setkali byly složeny jen z kladných čísel, jako např.

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...$

Konvergenci těchto řad jsme prověřovali kritérii z minulého videa (integrální, limitní podílové, srovnávací atd.). Naproti tomu členy alternujících řad pravidelně střídají znaménko plus a minus, jako např.

$\sum_{k=1}^\infty(-1)^k \cdot (\frac{1}{2})^k=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-...$

Změnu znamének zařizuje člen (-1)^k, popř. (-1)^k+1a to proto, že (-1) na liché číslo dává záporné znaménko a (-1) na sudé číslo dá kladné znaménko. Obecně mají alternující řady tento tvar, kdy a_k>0

$\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\cdot a_k$

Leibnizovo kritérium

Protože u alternujících řad má každý druhý člen záporné znaménko, tak tyto řady dosahují konečného součtu snadněji než řady s kladnými členy, kde čísla pouze sčítám. Proto zde není nutné použít tvrdá konvergenční kritéria řad s kladnými členy, ale stačí Leibnizovo kritérium, které je mnohem mírnější.

Skládá se ze dvou částí