Plošný integrál druhého druhu (z vektorového pole)

Pojďme se podívat na plošné integrály druhého druhu z vektorového pole na explicitně zadané ploše a na ploše zadané parametricky. Plošné integrály druhého druhu jsou základním nástrojem pro výpočet toků vektorového pole skrz plochu, což je velmi důležité v mnoha oblastech fyziky a inženýrství.

Plošný integrál z vektorového pole druhého druhu se používá k výpočtu toku tohoto pole skrz plochu. Tok vektoru plochou se vypočítá jako skalární součin tekoucí veličiny F a vektoru plochy S

Připomeňme si, co znamená vektorové pole. Vektorové pole je funkce, která každému bodu v prostoru přiřazuje vektor a protože plošné integrály pracují s trojrozměrnými plochami, má tento vektor tři složky.

Podobně jako u plošného integrálu prvního druhu, i zde integrujeme přes plochu, ale místo skalární funkce integrujeme přes vektorové pole. Výsledkem plošného integrálu druhého druhu je opět skalár, což nám umožňuje vyjádřit tok vektorového pole skrz plochu jako číselnou hodnotu.

Plošný integrál druhého druhu z explicitně zadané funkce

Plošný integrál z vektorového pole na explicitně zadané ploše lze vyjádřit jako integrál ze skalárního součinu vektorového pole a elementu plochy dS:

kde φ_xy je průmět plochy φ do roviny xy. Z tohoto průmětu se určí integrační meze.

Je důležité si uvědomit, že plošné integrály druhého druhu jsou orientované. Když pole teče skrze plochu jedním směrem, dáváme totu toku kladné znaménko a když opančým směrem, dáváme tomuto toku záporné znaménko.To znamená, že směr normály k ploše má význam a musíme ho zahrnout do výpočtu. Pokud bychom změnili orientaci plochy, výsledný integrál by měl opačné znaménko. Tuto znaménkovou konvenci určujeme pomocí kladného směru normály.

Při řešení těchto problémů se setkáváme s mnoha různými typy ploch, které mohou být explicitně zadané, nebo parametricky. Díky plošným integrálům z vektorových polí můžeme spočítat například tok elektromagnetického pole skrz určitou plochu, což je velmi důležitá informace pro mnoho aplikací, jako je například návrh elektrických obvodů nebo magnetických systémů.

Další praktickou aplikací plošných integrálů z vektorových polí je například v aerodynamice. Při návrhu letadel je důležité znát odpor, vztlak a momenty, které působí na letadlo v letu. Tyto veličiny mohou být vypočítány pomocí plošných integrálů z vektorových polí, které popisují proudění vzduchu kolem letadla.

V medicíně se plošné integrály z vektorových polí používají například k výpočtu toku krve skrz tepny a žíly, což je důležitá informace pro diagnostiku a léčbu kardiovaskulárních onemocnění.