Polohové úlohy v analytické geomterii

Pokud se v analytické geometrii bavíme o poloze máme na mysli, jestli dané objekty (přímky, roviny atd.) mají společný bod a pokud ano, tak kde. Můžeme se také bavit o různých speciálních polohách, jako je rovnoběžnost nebo mimoběžnost.

Průsečík

Průsečík je bod společný dvěma a více geometrickým objektům. Protože je v analytice vše popsáno rovnicemi, má průsečík jednu speciální vlastnost. Je společný oběma rovnicím, které tyto objekty popisuje. Česky řečeno, když obě rovnice položím do rovnosti a vyřeším, tak výsledné x je x-ová souřadnice průsečíku. Ve videu si ukážeme výpočet průsečíku přímky a paraboly.

Vzájemná poloha přímek

Rovnoběžnost

Tato situace může nastat v prostoru i v rovině. Přímky nemají žádný společný průsečík a zároveň mají stejné směrové vektory (nebo jejich k-násobky).

Různoběžnost

Další varianta, opět možná v rovině i prostoru, které nastane, pokud mají přímky jeden společný bod. Logický následek je také to, že mají různé směrové vektory.

Shodnost (identita)

Celkem jednoduché, ne? Jak to ale poznat z rovnic? Pokud bychom řešili soustavu rovnic, tak nám vyjde nekonečně mnoho řešení. Z geometrického pohledu totiž každý bod jedné přímky leží na té druhé a proto také odpovídá oběma rovnicím. Opět tato situace může nastat v rovině i prostoru.

Mimoběžnost

Přímky mohou být mimoběžné pouze v prostoru. Nemají žádný průsečík, ale nemají ani stejný směrový vektor. Jsou tak trochu na šuro. Matematicky na to přijdeme tak, že nám vyjde, že soustava nemá žádné řešení. Zároveň se také podíváme na směrové vektory a zjistíme, že jsou jiné (což je rozdíl oproti rovnoběžnosti)

Poloha přímek a rovin

Když pochopíme přímky, tak je zde situace mnohem jednodušší. Poloha se hlavně podle množství průsečíků. U přímek a rovin mohou nastat 3 případy: různoběžnost (1 průsečík), rovnoběžnost (žádný průsečík) a shodnost, popř. že přímka leží v rovině (nekonečně mnoho řešení).

Průsečnice dvou rovin

Pokud mají roviny průnik, tak jej nenazýváme průsečík, ale průsečnice. Je to přímka, na které leží společné body. Její rovnici zjistíme přes řešení soustavy rovnic rovin. Nenechme se zaskočit tím, že nám vyjdou dvě rovnice o třech neznámých. Ta jedna neznámá navíc nám slouží jako parametr v parametrickém vyjádření rovnice průsečnice.