Základy matic

Matice můžeme chápat jako pravoúhlé tabulky, ve kterých se nacházejí čísla nebo jiné matematické výrazy. Každá matice má určitý počet řádků a sloupců, podle kterých se můžeme orientovat v jejích prvcích. Mějme například matici A.

Matice A má 3 řádky a 2 sloupce. Podle toho můžeme označit prvek v třetím řádku a prvním sloupci jako a₃₁=-3. Matice, které mají různý počet sloupců a řádků označujeme jako obdélníkové. Ty, které naopak mají stejný počet řádků jako sloupců označujeme jako čtvercové.

Vezměme prvek na prvním řádku a prvním sloupci. Pokud spustíme čáru přes prvky, které leží na n-tém řádku a n-tém sloupci (druhý řádek a druhý sloupec apod.), tak těmto prvkům říkáme hlavní diagonála. Pokud toto provedeme z pravého vrchního rohu a budeme se dívat "levodolním" směrem, tak prvkům na této linii říkáme vedlejší diagonála.

Zvláštní typy matic

Horní a dolní trojúhelníkový tvar

Často se s nimi setkáváme u řešení soustav rovnic nebo u hledání inverzních matic. Horní trojúhelníkový tvar (někdy taky schodovitý tvar) má pod hlavní diagonálou samé nuly, viz matice B. Naopak dolní trojúhelníkový tvar má nad hlavní diagonálou jen nuly, viz matice C.

Jednotková matice

Tato matice má v maticovém počtu podobný význam jako číslo jedna u klasických čísel. Např. násobení matice jednotkovou maticí na tvaru původní matice nic nezmění. Jednotková matice je čtvercová, na hlavní diagonále má samé jedničky a mimo ní pouze nuly. Značí se nejčastěji písmenem E (zde matice 3x3).

Sčítání řádků a sloupců u matic

Řádky a sloupce matic můžeme podobně jako rovnice u soustav rovnic sčítat a odčítat. A to nejen řádky samotné, ale i jejich násobky.  Na příkladu níže můžeme vidět, jak jsem třetí řádek řádek upravil tak, že jsem k němu přičetl řádek druhý. Znak ≈ se používá proto, že tyto matice nejsou identické, ale druhá vznikla úpravou z první.

 

Převod matic na schodovitý (horní trojúhelníkový) tvar

Nejčastější podúloha, kterou u matic potřebujeme. Provádí se tak, že po vhodném násobením řádků čísly tyto řádky sečteme (odečteme) tak, že na pozicích pod hlavní diagonálou dostaneme nuly. V našem příkladu z matice D dostaneme schodovitý tvar tak, že v prvním kroku druhý řádek vynásobíme -2 a sečteme s prvním řádkem, v druhém kroku druhý řádek vynásobíme třemi a sečteme se třetím řádkem.

Lineární nezávislost řádků a hodnost matice

Dva lineárně závislé řádky jsou takové, u kterých sečtením vhodných k-násobků (vynásobím řádky vhodnými čísly a pak je sečtu) mohu dostat nulový řádek. Pokud se podíváme na matici F, tak pokud první řádek vynásobím -2 a přičtu ke druhému řádku, tak na druhém řádku budou jen nuly. 

Lineárně nezávislé řádky jsou naopak takové řádky, jejichž úpravami nikdy nulové řádky nedostaneme. Od toho se odvíjí pojem hodnost matice. Je to číslo, které označuje množství lineárně nezávislých řádků matice. Tento počet poznáme právě ze schodovitého tvaru. Hodnost matice F je jedna a značí se h(A)=1.

Singulární a regulární matice

K hodnostem matic se ještě vážou tyto dva pojmy. Pokud máme čtvercovou matici, tak pokud má matice stejnou hodnost jako počet lineárně nezávislých řádků, tzn. všechny řádky matice jsou nezávislé, tak označujeme matici za regulární. Můžeme ji taky poznat podle toho, že její determinant je nenulový.

Singulární matice je naopak taková čtvercová matice, u které je hodnost matice nižší, než počet řádků. Její determinant je roven nule.