Základy integrálů

Co je to integrál a primitivní funkce?

Integrál je matematická operace, která je úzce spjatá s derivací. Zatímco derivace nám umožňuje vypočítat rychlost změny funkce vzhledem k její proměnné, integrál nám umožňuje získat plochu nebo součet hodnot funkce v daném intervalu.

Integrál je v podstatě opačnou operací k derivaci. Zatímco derivace nám dává směr a rychlost změny funkce, integrál nám umožňuje "rekonstruovat" původní funkci z její derivace. Integrál nám poskytuje informace o celkovém efektu změny funkce v daném intervalu. 

Integrál se vždy skládá ze znaku integrace (znak podobný velké mu S), funkce kterou integrujeme a znaku dx (diferenciálu), který nám říká, podle jaké proměnné máme integrovat. Výsledkem integrálu je tzv. primivní funkce (funkce, kterou musíme zderivovat, abychom získali integrovanou funkci). Když najdeme primitivní funkci, tak znak integrace a i dx zmizí - výsledkem je pouze primitní funkce.

Integrační vzorce

Podobně jako u derivací existují základní integrační vzorce, kterými integrujeme. Narozdíl od derivací, je však jejich použití omezenější. Zde si uvedeme některé základní integrační vzorce:

Integrační konstanta

Při integrování se často setkáváme s pojmem "integrační konstanta". Integrační konstanta je libovolná konstanta, která se přidává k integrálu. Značí se velkým C. Vzniká z toho, že při derivaci ztrácíme informaci o konstantním členu funkce (derivace čísla je nula), a proto při integrování existuje nekonečně mnoho funkcí, které mají stejnou derivaci. Integrační konstanta nám umožňuje zachytit tuto nejistotu a vyjádřit nekonečně mnoho možných funkcí.

Integrační metody

Existují různé metody pro výpočet integrálů, jako je nevlastní integrál, substituce, per partes a rozklad na parciální zlomky. Každá z těchto metod má své vlastní pravidla a techniky, které nám umožňují nalézt integrální hodnoty. Jejich použití si vysvětlíme v následujících videích.

Integrály mají široké uplatnění v různých oblastech matematiky a jejich aplikací. Například v geometrii nám integrály umožňují vypočítat plochu pod křivkou, délku křivky nebo objem tělesa. V fyzice se integrály používají k výpočtům práce, energie, toku nebo pravděpodobnosti.