Analytická geometrie

V tomto videu přejdeme k různým formám násobení vektorů navzájem.

Skalární součin

Výsledkem takového násobení je už podle jeho názvu skalár, tedy číslo. Skalární násobení vektorů probíhá tak, že čísla na stejných pozicích dvou vektorů pronásobím a výsledky takového násobení sečtu. Skalární násobení se značí tečkou. Lépe to půjde vidět na příkladu

Grafický význam skalárního součinu

Skalární násobení dělá prakticky to, že vezme vektor a, pravoúhle jej promítne do směru vektoru b a když jsou tyto vektory v jednom směru, vynásobí jejich velikosti. Toho například užíváme ve fyzice pro výpočet práce.

Matematicky průmět do směru druhého vektoru provádíme přes funkci cosinus. Pokud tyto dva vektory svírají úhel α, můžeme skalární násobení zapsat pomocí velikostí vektorů takto

Příklad na výpočet skalárního součinu

Vzorec na výpočet úhlu dvou vektorů

Ať už v rovině nebo v prostoru, skalární součin nám nabízí možnost, jak vypočítat úhel dvou vektorů jen z jejich vektorového zápisu. Tedy bez vizuální představy. Stačí ze vzorce na výpočet skalárního součinu vyjádřit cos α takto

Vzorec na výpočet úhlu mezi dvěma vektory

Vektorový součin

Toto násobení funguje tak, že vezme dva vektory a přesně daným způsobem z nich vytvoří vektor třetí, kolmý na oba dva původní. Zde je podstatná odlišnost od násobení skalárního, zde je produktem násobení vektor a ne skalár. Velikost výsledného vektoru je daná vztahem

Vzorec, který definuje vektorový součin

kde α je úhel, který tyto vektory svírají. Záměnou pořadí vektorového násobení dostaneme opačný vektor. Směr výsledného vektoru můžeme zjistit pomocí pravidla pravé ruky.

Vektorový součin se dá vypočítat podle postupu, který uvádím ve videu v čase 3:00 nebo pomocí determinantu. U něj se už stalo zvykem, že x-ovou složku vektoru značím písmenem i, y-ovou složku vektoru značím písmenem j a z-ovou složku vektoru značím písmenem k. Do prvního řádku vždy dávám písmena i, j, k a do druhého řádku vektor, který stojí v násobení jako první 

Výpočet vektorového součinu pomocí determinantu

Grafický význam vektorového násobení

Pokud máme dva vektory a, b, pak je můžeme doplnit na vektorový rovnoběžník. Velikost plochy takového rovnoběžníku je rovna velikosti vektoru, který vznikne vektorovým násobením vektorů a, b.

Vzorec na výpočet plochy rovnoběžníku přes vektorový součin

Smíšený součin

Poslední typ násobení je smíšený součin. Ten je definován jako součin tří vektorů, kdy první dva násobím vektorově, a výsledný produkt násobím skalárně se třetím vektorem. Z postupu je zřejmé, že výsledkem tohoto násobení je skalár. Jeho hodnotu lze také vypočítat pomocí determinantu.

Postup výpočtu smíšeného součinu přes determinant