Integrace pomocí per partes

Integrace per partes (po částech) je výpočetní metoda, která dokáže vypočítat integrály ze součinu nebo podílu dvou funkcí.

Odvození vzorce na per partes

Vycházíme ze vzorce na derivaci součinu.

$(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$

Dále pokračujeme tím, že zintegrujeme obě strany rovnice. Na levé straně se integrace s derivací vyruší, protože jde o inverzní operace.

$\int (u\cdot v)'=\int u'\cdot v+\int u\cdot v'\rightarrow u\cdot v=\int u'\cdot v+\int u\cdot v'$

Poté už zbývá vyjádřit jeden z integrálů a dostáváme se ke vzorci, který u integrace per partes budeme používat

$\int u'\cdot v=u\cdot v-\int u\cdot v'$

Logika použití per partes

Úspěšnost výpočtu závisí na vhodnosti označení funkcí - kterou označím jako derivovanou a kterou jako nederivovanou. Např. u integrálu

$\int x\cdot ln x \: dx$

je volba jasná. Integrovat přirozený logaritmus přímo neumíme a umíme jej jen derivovat. Proto označíme x jako funkci zderivovanou (a budeme ji integrovat) a ln x označíme jako funkci nezderivovanou (a budeme ji derivovat).

$\! \! \! \! \! \! \! u'=x \:\: v=ln x \newline \newline u = x^2\: \: v'=\frac{1}{x}$

Interac podle vzorce pak bude vypadat následovně

$\int x\: ln\, x\: dx= x^2\cdot ln\, x\, -\int x^2\cdot \frac{1}{x}\: dx=x^2\cdot ln\, x\, -\frac{x^2}{2}+C$

Potřebuješ si spočítat více příkladů na integrály?

Klikni zde pro sbírku příkladů

Integrace pomocí per partes

Diferenciální rovnice

Odvození vzorce na per partes

Logika použití per partes