Metrické úlohy v analytické geometrii

V metrických úlohách se zabýváme měřením vzdáleností bodů, přímek a rovin.

Vzdálenost dvou bodů

Vzdálenost dvou bodů zjistíme pomocí velikosti vektoru. Z těchto bodů tedy vytvoříme vektor (je jedno, který bod je počáteční a koncový) a pomocí pythagorovy věty vypočítáme velikost vektoru. Tato velikost je hledanou vzdáleností bodů.

Vzdálenost bodu a přímky v rovině

Prvně si budeme muset určit, o kterou vzdálenost se vůbec jedná, protože na přímce máme nekonečně mnoho bodů. Vzdálenost bodu A od přímky p definujeme jako tu nejkratší možnou, tedy kolmou, vzdálenost. Geometrickým přístupem bychom museli spustit kolmici k přímce p, najít jejich průsečík a změřit vzdálenost průsečíku a původního bodu A. 

V analytické geometrii na to půjdeme jinak. Budeme potřebovat znát obecnou rovnici přímky p a souřadnice bodu A - [A_x;A_y]. Vzdálenost pak vypočítáme dosazením do tohoto zlomku, kdy v čitateli je rovnice přímky a do ní dosazeny souřadnice bodu A a ve jmenovateli je velikost normálového vektoru přímky p.

Vzdálenost bodu nebo přímky od roviny

Zde je řešení podobné jako u předchozí situace. Vzdálenost nám prozradí vzorec, v jehož čitateli je obecná rovnice roviny s dosazeným bodem A - [A_x;A_y;A_z] a ve jmenovateli je velikost normálového vektoru roviny.

Stejnou metodou určujeme i vzdálenost bodu od přímky. Řešit takovou úlohu má jen tehdy, pokud je přímka rovnoběžná s rovinou. Každý bod na přímce má tedy stejnou vzdálenost od roviny. Můžeme si vybrat libovolný bod na přímce a dosadit jej do výše zmíněného vzorce.

Vzdálenost bodu od přímky v rovině

Tato úloha už bude krapet komplikovanější, protože na ní neexistuje jednoduchý vzorec. Potřebujeme najít nejkratší vzdálenost mezi přímkou p a bodem A. To provedeme pomocí sestrojení roviny α kolmé k přímce p a obsahující bod A. Důležitý bude pro nás průsečík roviny α a přímky p. Vzdálenost tohoto průsečíku a bodu A je hledaná vzdálenost přímky a bodu.