Lokální extrémy

Lokální extrém definujeme jako bod s maximální nebo minimální hodnotou z určitého kruhového okolí funkce. Jinými slovy řečeno, kopec nebo ďolík 🙂 Jak takový extrém najít?

Stacionární body

U funkce více proměnných jsou to body, které mají jak parciální derivaci podle x, tak podle y rovnou nule. Naším úkolem je tedy tyto parciální derivace určit, položit je rovno nule a tuto soustavu rovnic vyřešit.

Potvrzení extrémů Sylvestrovým kritériem

Ne každý stacionární bod je lokálním extrémem, viz. body typu sedlo (pokud tě zajímá, jak sedlo vypadá, můžeš se podívat zde). Potvrzení nebo naopak vyvrácení nám nabídne Sylvestrovo kritérium. To pracuje s determinantem složeným z druhých parciálních derivací, který budeme nazývat Hessián. Ten je definován takto:

Sylvestrovo kritérium je pak definováno takto:

• Pokud je Hessián kladný a druhá derivace podle x je také kladná, tak se jedná o lokální minimum.
• Pokud je Hessián kladný a druhá derivace podle x je záporná, tak se jedná o lokální maximum.
• Pokud je Hessián záporný, nejedná se o žádný extrém. 

Extrémy funkce tří proměnných

I když je funkce proměnná x,y,z tak stejně jako u funkce musíme stanovit stacionární body, ve kterých je hodnota první derivace nulová. Mějmw však na mysli, že první derivace jsou zde tři.

Dále kromě klasického Hessiánu (zde jej budeme značit D₂) nám pro ověření lokálního extrému poslouží determinant D₃ 3x3 složený ze všech druhých derivací (těch máme dohromady 6 typů).

Pokud druhou derivaci dvakrát podle x označíme jako D₁, platí pro extrémy následující pravidla:

• Pokud je D₁<0, D₂>0, D₃<0, tak se jedná o lokální maximum.
• Pokud je D₁>0, D₂>0, D₃>0, tak se jedná o lokální minimum.
• Ve všech ostatních případech se o lokální extrém nejedná.