Lokální extrém definujeme jako bod s maximální nebo minimální hodnotou na z určitého kruhového okolí funkce. Jinými slovy řečeno, kopec nebo ďolík 🙂 Jak takový extrém najít?

Stacionární body

U funkce více proměnných jsou to body, které mají jak parciální derivaci podle x, tak podle y rovnou nule. Naším úkolem je tedy tyto parciální derivace zjistit, položit je rovno nule a tuto soustavu rovnic vyřešit.

Potvrzení extrémů Sylvestrovým kritériem

Ne každý stacionární bod je lokálním extrémem, viz. body typu sedlo (pokud tě zajímá, jak sedlo vypadá, můžeš se podívat zde). Potvrzení nebo naopak vyvrácení nám nabídne Sylvestrovo kritérium. To pracuje s determinantem složeným z druhých parciálních derivací, který budeme nazývat Hessián. Ten je definován takto:

Hessián a jak je sestavit z druhých parciálních derivací

Sylvestrovo kritérium je pak definováno takto:

  • Pokud je Hessián kladný a druhá derivace podle x je také kladná, tak se jedná o lokální minimum.
  • Pokud je Hessián kladný a druhá derivace podle x je záporná, tak se jedná o lokální maximum.
  • Pokud je Hessián záporný, nejedná se o žádný extrém.