Lokální extrém definujeme jako bod s maximální nebo minimální hodnotou z určitého kruhového okolí funkce. Jinými slovy řečeno, kopec nebo ďolík :) Jak takový extrém najít?

Stacionární body

U funkce více proměnných jsou to body, které mají jak parciální derivaci podle x, tak podle y rovnou nule. Naším úkolem je tedy tyto parciální derivace určit, položit je rovno nule a tuto soustavu rovnic vyřešit.

Potvrzení extrémů Sylvestrovým kritériem

Ne každý stacionární bod je lokálním extrémem, viz. body typu sedlo (pokud tě zajímá, jak sedlo vypadá, můžeš se podívat zde). Potvrzení nebo naopak vyvrácení nám nabídne Sylvestrovo kritérium. To pracuje s determinantem složeným z druhých parciálních derivací, který budeme nazývat Hessián. Ten je definován takto:

Hessián a jak je sestavit z druhých parciálních derivací

Sylvestrovo kritérium je pak definováno takto:

  • Pokud je Hessián kladný a druhá derivace podle x je také kladná, tak se jedná o lokální minimum.
  • Pokud je Hessián kladný a druhá derivace podle x je záporná, tak se jedná o lokální maximum.
  • Pokud je Hessián záporný, nejedná se o žádný extrém. 

Extrémy funkce tří proměnných

I když je funkce proměnná x,y,z tak stejně jako u funkce musíme stanovit stacionární body, ve kterých je hodnota první derivace nulová. Mějmw však na mysli, že první derivace jsou zde tři.

Dále kromě klasického Hessiánu (zde jej budeme značit D2) nám pro ověření lokálního extrému poslouží determinant D3 3x3 složený ze všech druhých derivací (těch máme dohromady 6 typů).

Pokud druhou derivaci dvakrát podle x označíme jako D1, platí pro extrémy následující pravidla:

  • Pokud je D1<0, D2>0, D3<0, tak se jedná o lokální maximum.
  • Pokud je D1>0, D2>0, D3>0, tak se jedná o lokální maximum.
  • Ve všech ostatních případech se o lokální extrém nejedná.