Limita posloupnosti

Limita posloupnosti je číslo, kterému se členy posloupnosti postupně přibližují, popřípadě jej dosahují, když se jejich pořadí blíží nekonečnu. Z prinicipu se tedy limita týká pouze nekonečných posloupností a zjednodušeně řečeno budeme zjišťovat, jaké hodnotě na svislé ose grafu se členy posloupnosti budou přibližovat, když protáhneme vodorovnou osu grafu hodně doprava.

Zápis této limity nám říká, že členy posloupnosti 1/n se svou hodnotou blíží k nule, když pořadí (index n) přiblížíme k nekonečnu. Co se struktury zápisu týče, část lim nám říká, že se jedná o limitu. Za limitou se nachází zápis posloupnosti, jejíž chování zkoumáme. Pod limitou se nachází n →∞, což nám říká, čemu se při zkoumání limity blíží proměnná. U posloupností se tato část dá vynechat, protože se u posloupností žádné jiné n, než bližící se nekonečnu, nevyšetřuje.

Vlastní a nevlastní limity

Vlastní limita zjednodušeně znamená, že členy posloupnosti se v nekonečnu přibližuje jednomu konkrétnímu reálnému číslu. Z matematického hlediska je definice vlastní limity trochu komplikovanější a vypadá následovně.

Tento zápis nám říká, že vlastní limita posloupnosti o hodnotě A existuje právě tehdy když, pro libovolnou hodnotu ε, jsme kolem A schopni vytvořit symetrický pás o tloušťě 2ε, přičemž najdeme člen s pořadím n₀, po němž se všechny dalčí členy budou v tomto pásu nacházet. Pokud má posloupnost vlastní limitu, říkáme o ní, že je konvergentní, popř. že k hodnotě vlastní limity konverguje.

Nevlastní limita posloupnosti znamená že členy posloupnosti se svým rostoucím pořádím rostou buď do plus anebo minus nekonečna. Nikoliv však zároveň. Definice nevlastní limity v plus nekonečnu vypadá následovně

a pro nevlastní limitu v minus nekonečnu takto

Obě dvě definice pracují s omezeností posloupnosti. Definice nevlastní limity v plus nekonečnu pracuje s tím, že ať si vybereme jakékoliv reálné číslo K, tak vždy najdeme člen a_n0, po němž všechny další členy budou větší než číslo K. Definice nevlastní limity v minus nekonečnu funguje stějně, akorát vždy najdeme člen, od nějž všechny následující členy jsou menší než číslo K.

Neexistence limity

Může se stát, že posloupnost nebude splňovat ani kritéria vlastní či nevlastní limity. Tato situace nastává, pokud členy posloupnosti oscilují, např. "skákají" sem a tam mezi určitými hodnotami, často například díky členu (-1)ⁿ mění své znaménko a nepřibližují se žádné konkrétní hodnotě. V takovýchto případech tvrdíme, že limita posloupnosti neexistuje.

Věty o úpravách limit

Vět o limitách je mnoho, ale z těch podstatných si zmíníme jen několik.

1) Každá posloupnost má nejvíce jen jednu limitu

Tato skutečnost vychází z definice limity, protože limita existuje, když se členy v nekonečnu blíží jedné konkrétní hodnotě. Z toho důvodu se nemůžu blížit dvěma či více hodnotám.

2) Pokud jsou limity konvergentní, můžeme je upravovat podle následujících vztahů :

3) Pokud má posloupnost vlastní limitu, tak je tato posloupnost omezená. Pokud má posloupnost nevlastní limitu v plus nekonečnu, je tato posloupnost zdola omezená. Pokud má posloupnost nevlastní limitu v minus nekonečnu, tak je tato posloupnost shora omezená.