Homogenní LODR s konstantními koeficienty

Diferenciální homogenní rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty je jednou ze základních problémů v teorii diferenciálních rovnic. Tento typ rovnic se řeší prostřednictvím polynomických řešení, kde kořeny charakteristické rovnice ovlivňují strukturu řešení. Řešení se může lišit v závislosti na tom, zda jsou kořeny reálné, komplexní nebo vícenásobné.

Jak se homogenní rovnice vyšších řádů řeší?

Rozhodneme-li se řešit diferenciální homogenní rovnici vyššího řádu s konstantními koeficienty, přistupujeme k analýze levé strany rovnice (pravá strana takovéto rovnice je z definice rovna nule, pokud ne, jedná se o nehomogenní rovnici, kterou probíráme dále zde v metodě neurčitých koeficientů). Levá strana rovnice je tvořena lineární kombinací derivací neznámé funkce, kterou označíme y, a to v různých řádech. Obecný tvar této rovnice je:

kde (a_n, a_{n-1}, ... a_1, a_0) jsou konstanty (koeficienty), které charakterizují danou rovnici, y je hledaná funkce proměnná (x) a a yⁿ jsou její derivace, kde n je nejvyšší řád derivace v rovnici.

Levá strana rovnice je tedy suma jednotlivých členů, kde každý člen obsahuje derivace funkce y v různých řádech a vynásobené odpovídajícími koeficienty. Cílem je najít takovou funkci y, která splňuje tuto rovnici pro všechny hodnoty nezávislé proměnné x.

Při řešení diferenciální homogenní rovnice se zaměřujeme na nalezení takové funkce y která způsobí, že levá strana rovnice se stane nulou. Tím se vytváří podmínka, kterou musí splňovat hledaná funkce y. Funkce které se se svou opakovanou derivací mohou odečíst jsou v základě dvě – exponenciální funkce e^x a variace sin(x) a cos(x).

Při řešení těchto rovnic se používá převod na polynomické řešení. Tento přístup je založen na tom, že hledanou funkci y převeme na poměnnou λ, přičemž její mocnina bude odpovádat řádu derivace. Převodem na polynomické řešení získáme charakteristickou rovnici, která je polynomem s neznámými koeficienty.

Po vyřešení charakteristické rovnice nalezneme kořeny, které jsou důležité pro určení formy obecného řešení diferenciální rovnice. Existuje několik variant, jak tyto kořeny ovlivňují formu řešení.

1. Řešení s různými reálnými kořeny

Pokud jsou kořeny charakteristické rovnice reálné a různé, potom obecné řešení diferenciální rovnice je tvořeno kombinací exponenciálních funkcí. Každý reálný kořen λ dává jednu exponenciální funkci v řešení a to způsobem, kdy tento kořen násobí x v exponentu mocninné funkce o základu e              

2. Komplexní kořeny

Pokud jsou kořeny charakteristické rovnice komplexní, musíme pracovat s komplexními čísly. V tomto případě obecné řešení zahrnuje sinové a kosinové funkce, které jsou odvozeny z Eulerova vzorce. Komplexní kořeny se objevují ve tvaru řešení jako imaginární jednotky v exponentu nebo v trigonometrickém tvaru.

3. Vícenásobné kořeny

Pokud charakteristická rovnice obsahuje vícenásobný kořen, je řešení tvořeno lineární kombinací exponenciálních funkcí s různými mocninami. V takovém případě je třeba pečlivě rozlišovat mezi jednotlivými mocninami, abychom získali správný tvar řešení.

Např. pro dvojnásobný reálný kořen vypadá řešení následovně:

Je důležité poznamenat, že konkrétní řešení diferenciální homogenní rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty závisí na kořenech charakteristické rovnice. Tyto kořeny určují formu a vlastnosti obecného řešení. Každý kořen představuje určitý příspěvek k celkovému řešení.

Při práci s diferenciálními rovnicemi vyššího řádu s konstantními koeficienty je důležité porozumět principům řešení a vlivu kořenů charakteristické rovnice. Tento přístup nám umožňuje přesně určit řešení a porozumět chování dynamických systémů, které jsou popsány těmito rovnicemi.