Fourierovy řady jsou aproximační metodou, která mi na konečném intervalu pomůže nahradit funkci nebo dokonce více funkcí za ráz funkční řadou složenou z dobře nakombinovaných sinů a kosinů.

Jak vypadá Fourierova řada

Mějme funkci nebo více funkcí, které chceme nahradit trigonometrickou řadou (řadou složenou ze součtů funkcí sinus a kosinus) na intervalu konečné délky 2L. Potom obecný tvar Fourierovy řad, který nám zatím moc neřekne, je 

Teď k popisu jednotlivých členů, k čemu je potřebujeme a jak bude výsledná aproximace vypadat. Protože řadu skládáme z periodických funkcí, tak i výsledná aproximace bude periodická a její graf se nám roztáhne daleko mimo oblast původní délky 2L.

Argumenty v sinech a kosinech jsou vyděleny půdélkou aproximovaného intervalu L, což nám zaručí, že se perioda aproximující řady bude shodovat s délkou 2L. No a teď jen potřebujeme zajistit, aby aproximace dobře kopírovala zadané funkce.

K tomu slouží členy a0/2, ak, bk. Člen a0/2 je reálné číslo, které nám zapozicuje řadu ve směru osy y. Vypočítáme jej z integrálu 

Členy ak a bk jsou také reálná čísla, která ve finále zodpovídají za tvarovou přesnost řady vůči aproximovaným funkcím.

Výpočet členů ak a bk

Na začátku jsem zmiňoval, že siny a kosiny potřebujeme vhodně nakombinovat. Teď je vhodná chvíle zmínit, že se jedná o lineární kombinaci, tedy že siny i kosiny jsou vždy na prvou a sčítáme jejich k-násobky. To jak tyto k-násobky mají vypadat a podle jakého předpisu se mají odvíjet určují koeficienty ak a bk

Vzorce na jejich výpočet jsou si velmi podobné. Vždy se jedná o určitý integrál přes celou délku 2L ze součinu goniometrické funkce s argumentem kπx/L a funkce, kterou chceme aproximovat. Pokud je délce 2více funkcí, musíme integrál rozdělit na více integrálů a každou funkci zintegrovat na svém podintervalu z délky 2L.

Co tím dostaneme? Především integrujeme podle x, a za něj pak budeme dosazovat meze, takže x ve výsledném předpisu nebude. V koeficientech pak ve výsledku figuruje pouze k

Jako příklad toho, jak Furierova řada může vypadat uvádím řadu, kterou jsme počítali ve videu 

Výhody použití Fourierových řad

Jak již bylo zmíněno, Fourierovy řady dokáží aproximovat více funkcí najednou. Tyto funkce nemusejí být spojité ani všude derivovatelné, což jsou všechno výhody, které Taylorovy řady nemají. Pokud je řada složená jen ze sinů a kosinů, pak integrovat nebo derivovat takovou řadu je velmi snadné.