Diferenciální rovnice - slovní úlohy

Slovní úlohy často vedou na řešení diferenciálních rovnic, pokud zahrnují spojitou změnu, nejčastěji v čase. Naším úkolem pak bývá tuto rovnici zkonstruovat a pak určit její partikulární řešení.

Radiokarbonová metoda datování

Ta je založena na tom, že se v živých organismech nachází určitý podíl radioaktivního uhlíku C-14. Jakmile organismus zemře, tento uhlík přestane být do organismu dodáván a začíná se rozpadat na dusík. Zároveň víme, že poločas rozpadu (doba, za kterou se rozpadne polovina nuklidů) je u tohoto izotopu uhlíku 5730 let. Dále také víme, že rychlost rozpadu nuklidů je úměrná počtu nuklidů.

Tato rovnice vychází z předpokladu, že čím větší množství jader máme, tím více radioaktivních přeměn se v tomto množství odehrává. Znaménko minus je zde proto, že změna počtu jader rozpadajícího se izotopu je záporná - jeho množství v čase klesá. K obecnému řešení dojdeme použitím separace proměnných.

K vyřešení této obecné rovnice můžeme použít dvě doplňující informace. Prvně víme, že v čase t=0 bylo ve vzorku N₀ částic a po době odpovídající poločasu rozpadu je jich polovina. Výsledné partikulární řešení je pak funkce, která popisuje množství nuklidů uhlíku C-14 v čase. 

Výměna bankovek ve státě

Druhá slovní úloha se týká situace, kdy se centrální banka rozhodne vyměnit staré bankovky za nové. Mechanismus výměny je takový, že veškeré staré bankovky, které do bank denně přijdou, vymění za nové a vrátí do oběhu.