Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice jsou základním nástrojem matematické analýzy pro popis dějů měnících se v čase. Tyto rovnice popisují vztahy mezi neznámou funkcí a jejími derivacemi. Diferenciální rovnice se vyskytují ve mnoha vědeckých disciplínách a mají širokou škálu aplikací od fyziky a chemie po ekonomii a biologii.

Obecně řečeno, diferenciální rovnice popisují, jak se hodnota neznámé funkce mění v závislosti na její derivaci (nebo derivacích) a na hodnotách ostatních proměnných. Jsou to rovnice, které obsahují jak neznámou funkci, tak její derivace. Řešením diferenciální rovnice je nikoliv jedno či více čísel (tak jak to známe u klasických rovnic), ale funkce, která splňuje danou rovnici pro všechny hodnoty nezávislých proměnných.

Existuje mnoho různých typů diferenciálních rovnic, včetně lineárních, nelineárních, obyčejných a parciálních. Každý typ má specifické vlastnosti a metody řešení. V tomto textu se zaměříme na obyčejné diferenciální rovnice, které se zabývají funkcemi jedné proměnné.

Existují různé metody, které se používají k řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Dvě z nejběžnějších metod jsou separace proměnných a variace konstant.

Separace proměnných

Metoda separace proměnných se používá, když je možné rovnici rozdělit na dvě části, jednu obsahující neznámou funkci a její derivace a druhou obsahující pouze nezávislou proměnnou. Jinými slovy všechno co má y se přesune na jednu stranu rovnice a vše ostatní (čísla a x) na druhou stranu rovnice. Poté se tyto dvě části odděleně integrují a získá se obecné řešení rovnice.

Můžeme si všimnout, že při integraci vznikla integrační konstanta. To je pro řešení diferenciálních rovnic typické a tato integrační konstanta se stane číslem ve chvíli, kdy je zadaná počáteční podmínka. Počáteční podmínka je rovnice, která udává hodnotu hledané funkce v daném x.

Variace konstant

Metoda variace konstant je metoda používaná pro řešení lineárních diferenciálních rovnic. Při použití této metody se předpokládá, že řešení má specifickou formu. Tato forma říká, že rovnice má část vázanou v součinu s neznámou funkcí y (P_x) a část je čistě proměnná x (Q_x). 

Řešení probíhá tak, že prvně řešíme tzv. homogenní rovnici, tedy že ignorujeme část Q_x a vyřešíme rovnici pro tuto situaci. Řešení lze v této situaci najít separací proměnných. Toto řešení bude mít neznámou integrační konstantu C, o které předpokládáme, že není číselná, ale obsahuje neznámou funkci, kterou je do řešení potřeba doplnit. Proto ji budeme označovat jako C_x.

S tímto odhadem řešení vstupujeme již do původní rovnice. Toto částečné řešení dosazujeme z y a zderivovanou formu dosadíme za y’. Zde pozor, C_x derivujeme jako funkci, ne jako číslo

Tím získáme rovnici, která obsahuje pouze proměnné x a C_x. Rovnici znovu vyřešíme separací konstant. Výsledkem je pak hodnota Cx, kterou doplníme do tvaru řešení z prvního kroku.

Tyto dvě metody jsou základními nástroji pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Existuje mnoho dalších pokročilých metod, které se používají v závislosti na specifickém typu rovnice a podmínkách problému. Porozumění a ovládnutí těchto metod je klíčové pro práci s diferenciálními rovnicemi a jejich aplikace v různých oborech vědy a techniky.