Aplikace dvojných integrálů

Dobrá zpráva je, že se dnes nebudeme zabývat žádným novým počítáním. Jde jen o to, že některé funkce ve dvojných integrálech mají konkrétní matematický nebo fyzikální význam. 

Objem tělesa pod grafem funkce, velikost oblasti, hmotnost oblasti

Už v úvodním videu o dvojných integrálech jsme si ukazovali jednu z aplikací dvojných integrálů. Pokud máme funkci dvou proměnných F a dvojrozměrnou oblast M, která leží v rovině xy, tak integrál z funkce F přes tuto oblast mi vypočítá objem tělesa nad oblastí M a pod grafem funkce F.

Pokud by se funkce F rovnala 1, pak bychom integrací získali objem tělesa nad oblastí M, to by ale mělo výšku 1 a tím pádem by se objem shodoval s velikostí plochy M. Proto

Další z aplikací je výpočet hmotnosti oblasti M. Tato aplikace předpokládá, že známe funkci rozložení hustoty. Každá malá ploška dx dy bude pronásobena plošnou hustotou a získáme tak hmotnost plošky dx dy. Dvojný integrál tyto hmotnosti prosčítá a určí hmotnost plochy M.

Statické momenty k osám a poloha těžiště

Statické momenty plochy M k osám souřadnicového systému nám určitým způsobem popisuje rozložení plochy vůči těmto osám. Kdybych to hodně zjednodušil, říká nám, jak je osa od os daleko. Značíme je buď S nebo U.

Jednou y nejčastějších aplikací statických momentů je výpočet polohy těžiště. Těžiště jako bod (v tomto případě) o dvou souřadnicích se určí jako 

Pokud zkoumáme těžiště plochy, která nemá zadanou hustotu (jedná se nám o geometrické těžiště), pak se vztah zjednodušuje do podoby 

Momenty setrvačnosti

Momenty setrvačnosti jsou další veličinou, která mi popisuje rozložení plochy, popř. její hmoty, vůči souřadnicovým osám nebo počátku souřadného systému. Používají se často ve fyzice nebo pružnosti a pevnosti.