V tomto videu si rozebereme jaké síly při kmitání na oscilující těleso působí a jak se z nich odvodí rovnice pro okamžitou polohu tělesa v čase.

Působící síly a 2. Newtonův pohybový zákon

Uvažujme vodorovně kmitající těleso na pružině. Pokud uvedeme těleso do pohybu vnější silou a kmitání je netlumené (nejsou zde ztráty energie), tak si těleso bude ideálně kmitat do nekonečna. Vnější síla už pak nebude působit a jediná síla ovlivňující pohyb tělesa je síla od pružiny Fp, kde k je tuhost pružiny a vzdálenost od rovnovážné polohy

Síla v pružině

Z druhého Newtonova zákona plyne, že tato síla uděluje tělesu o hmotnost zrychlení a.

Silová rovnice při kmitání

Převod na diferenciální rovnici a její řešení

Pokud si uvědomíme, že zrychlení je druhá derivace polohy, můžeme silovou rovnici přepsat do diferenciální podoby takto

Silová diferenciální rovnice kmitání

Tuto rovnici budeme řešit jako diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty. Její obecné řešení nám vyjde s integračními konstantami ve tvaru

Řešení diferenciální rovnice kmitání

K úplnému vyřešení se potřebujeme ještě zbavit integračních konstant pomocí počátečních podmínek. Počítejme s tím, že v čase 0 je těleso a amplitudě a rychlost je zde nulová. Potom nám vyjde řešení tvaru

rovnice okamžité výchylky kmitajícího tělesa

Rychlým srovnáním se vztahem pro okamžitou polohu, který jsme si ukázali ve videu Kinematika kmitavého pohybu, zjistíme, že výraz s odmocninou má výraz úhlové frekvence. Takto si můžeme rychle zjistit frekvenci kmitání mechanického oscilátoru z jeho hmotnosti a tuhosti pružiny