Dynamika kmitavého pohybu

V tomto videu si rozebereme jaké síly při kmitání na oscilující těleso působí a jak se z nich odvodí rovnice pro okamžitou polohu tělesa v čase.

Působící síly a 2. Newtonův pohybový zákon

Uvažujme vodorovně kmitající těleso na pružině. Pokud uvedeme těleso do pohybu vnější silou a kmitání je netlumené (nejsou zde ztráty energie), tak si těleso bude ideálně kmitat do nekonečna. Vnější síla už pak nebude působit a jediná síla ovlivňující pohyb tělesa je síla od pružiny Fp, kde k je tuhost pružiny a x vzdálenost od rovnovážné polohy

Z druhého Newtonova zákona plyne, že tato síla uděluje tělesu o hmotnost m zrychlení a.

Převod na diferenciální rovnici a její řešení

Pokud si uvědomíme, že zrychlení je druhá derivace polohy, můžeme silovou rovnici přepsat do diferenciální podoby takto

Tuto rovnici budeme řešit jako diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty. Její obecné řešení nám vyjde s integračními konstantami ve tvaru

K úplnému vyřešení se potřebujeme ještě zbavit integračních konstant pomocí počátečních podmínek. Počítejme s tím, že v čase 0 je těleso a amplitudě a rychlost je zde nulová. Potom nám vyjde řešení tvaru

Rychlým srovnáním se vztahem pro okamžitou polohu, který jsme si ukázali ve videu Kinematika kmitavého pohybu, zjistíme, že výraz s odmocninou má výraz úhlové frekvence. Takto si můžeme rychle zjistit frekvenci kmitání mechanického oscilátoru z jeho hmotnosti a tuhosti pružiny