Diferenciální rovnice průhybové čáry

Diferenciální rovnice průhybové čáry je metoda určování deformace ohýbaného prutu. Budeme se snažit najít rovnice, do kterých zadáme polohu daného bodu a tyto rovnice nám určí průhyb wx (vertikální posuv) a natočení φx.

Derivační závislosti mezi veličinami

Pokud bychom se na průhyb dívali jako funkci, tak její derivace vypovídá o směru tečny v daném bodě. Proto pokud zderivujeme rovnici průhybu wx, dostaneme rovnici natočení. Proto natočení budeme značit w'x

Ze vztahů pro geometrii křivek se dá odvodit, že druhá derivace průhybu (někdy také označovaná jako šikmost) se bude rovnat

Tento vztah pro nás bude pro tuto metodu naprosto základní. Moy je vyjádření ohybového momentu k ose y po délce prutu (proměnný podle souřadnice x), Jy je kvadratický moment k ose y a E je Youngův modul pružnosti. 

Určování rovnic

Vše si ukážeme na příkladě vetknutého nosníku a na volném konci zatíženém silou. Ohybový moment je v tomto případě Moy=F·x. Tento moment dosadíme do vztahu pro w''x a budeme integrovat. První integrací získáme vztah pro natočení, druhou pro průhyb.

vztah pro natočení vektnutého prutu

vztah pro průhyb vektnutého prutu

Okrajové podmínky

Při integraci nám vznikají integrační konstanty, které potřebujeme vyčíslit, protože do té doby rovnice nejsou vyčíslené a nemohou dát žádné relevantní údaje. K tomu nám pomohou okrajové podmínky

Okrajové podmínky jsou známé hodnoty funkcí (natočení a průhybu), které lze vyčíst ze zadání. Pokud má kótovací systém x=0 ve volném konci prutu, jsme schopni říct že v x=L (ve vetknutí) je průhyb i natočení nulové, protože vetknutí je naprosto tuhá vazba. 

Pokud tyto dvě okrajové podmínky dosadíme do rovnic, jsme schopni určit hodnoty integračních konstant C a D a získat plné znění rovnic průhybu a natočení.