Diferenciální rovnice průhybové čáry

Diferenciální rovnice průhybové čáry je metoda určování deformace ohýbaného prutu. Budeme se snažit najít rovnice, do kterých zadáme polohu daného bodu a tyto rovnice nám určí průhyb w_x (vertikální posuv) a natočení φ_x.

Derivační závislosti mezi veličinami

Pokud bychom se na průhyb dívali jako funkci, tak její derivace vypovídá o směru tečny v daném bodě. Proto pokud zderivujeme rovnici průhybu w_x, dostaneme rovnici natočení. Proto natočení budeme značit w'_x. 

Ze vztahů pro geometrii křivek se dá odvodit, že druhá derivace průhybu (někdy také označovaná jako šikmost) se bude rovnat

Tento vztah pro nás bude pro tuto metodu naprosto základní. M_oy je vyjádření ohybového momentu k ose y po délce prutu (proměnný podle souřadnice x), J_y je kvadratický moment k ose y a E je Youngův modul pružnosti. 

Určování rovnic

Vše si ukážeme na příkladě vetknutého nosníku a na volném konci zatíženém silou. Ohybový moment je v tomto případě M_oy=F·x. Tento moment dosadíme do vztahu pro w''_x a budeme integrovat. První integrací získáme vztah pro natočení, druhou pro průhyb.

Okrajové podmínky

Při integraci nám vznikají integrační konstanty, které potřebujeme vyčíslit, protože do té doby rovnice nejsou vyčíslené a nemohou dát žádné relevantní údaje. K tomu nám pomohou okrajové podmínky

Okrajové podmínky jsou známé hodnoty funkcí (natočení a průhybu), které lze vyčíst ze zadání. Pokud má kótovací systém x=0 ve volném konci prutu, jsme schopni říct že v x=L (ve vetknutí) je průhyb i natočení nulové, protože vetknutí je naprosto tuhá vazba. 

Pokud tyto dvě okrajové podmínky dosadíme do rovnic, jsme schopni určit hodnoty integračních konstant C a D a získat plné znění rovnic průhybu a natočení.