Nevlastní integrál vlivem meze

Grafický význam určitých integrálů spočíval v tom, že vypočítal plochu mezi osou x a funkcí, přičemž tuto plochu jsme určovali v konečných mezích. Jinak řečeno, plocha byla ohraničena zleva i zprava.

Nevlastní integrál vlivem meze počítá velikost plochu pod grafem funkce, když jedna z integračních mezí je nekonečno.

Konvergence a divergence nevlastního integrálu

Paradoxně i když má plocha nekonečnou šířku, může mít konečnou velikost plochy. Graf funkce může klesat k ose x tak rychle, že i přírůstky plochy s rostoucím x  jsou téměř nulové. 

Dá se říci, že pokud hodnota nevlastního integrálu vychází jako reálné číslo, tak má velikost plochy konečnou hodnotu a o tomto integrálu říkáme, že konverguje. Pokud nám integrál vychází plus nebo minus nekonečno, tak plocha má nekonečnou velikost a integrál tzv. diverguje.

Výpočet nevlastního integrálu vlivem meze

Výpočet nevlastního integrálu je velmi podobný výpočtu integrálu určitého, jen si musíme matematicky korektně ošetřit dosazení nekonečna jako meze. Ukážeme si to na příkladu 

Integrand (funkci uvnitř integrálu) zintegrujeme jako obvykle. Změna nastane až při dosazování mezí

Pokud chceme dosadit jako mez nekonečno, musíme to udělat pomocí limity viz. výše. Zde nám hodnota integrálu vyšla rovna 1 a to znamená, že integrál konverguje a plocha má velikost 1.

Nevlastní integrál s oběma mezemi v nekonečnu

Pokud má integrál jednu mez minus nekonečno a druhou mez plus nekonečno, musíme tento integrál rozdělit na dva. Pokud je integrovaná funkce spojitá na oboru reálných čísel, pak lze integrál rozdělit takto

Pokud oba dva integrály konvergují, můžeme říct že původní integrál konverguje a jeho hodnota se rovná součtu hodnot těchto dvou integrálů.